Відкрити головне меню

Кватерніо́н  — гіперкомплексне число, яке реалізується в 4-вимірному просторі. Уперше описане В. Р. Гамільтоном у 1843 році.

Кватерніони використовуються як у теоретичній, так і у прикладній математиці, зокрема для розрахунку поворотів у просторі у тривимірній графіці та машинному зорі.

Зміст

ОзначенняРедагувати

Загальне означенняРедагувати

Кватерніони можна означити як суму

 

де    — дійсні числа;    — уявні одиниці, які справджують співвідношення:

 

з яких випливають ще й такі співвідношення:

 

Часто замість   використовують позначення для уявних одиниць відповідно   а також покладають  

Ще один, зрідка вживаний, варіант позначень:  

Означення через вектор і скалярРедагувати

Кватерніон представляє собою пару  , де   — вектор тривимірного простору , а   — скаляр, тобто дійсне число.

Через комплексні числаРедагувати

Довільний кватерніон  можна представити як пару комплексних чисел у вигляді  .

Це еквівалентно  , де  ,  ( тобто   — комплексні числа , оскільки  )

Через дійсні матриціРедагувати

Кватерніони також можна визначити як матрицю такого вигляду:

 

Через комплексні матриціРедагувати

Альтернативно, кватерніони можна визначити як комплексні матриці такого вигляду

 ,

де   є комплексно-спряженими числами до  .

Пов'язані означенняРедагувати

  • Для кватерніона  ,
дійсне число   називають скалярною частиною кватерніона,    — його векторною частиною.
Якщо  , то кватерніон називається чисто скалярним, при   — чисто векторним.
  • Кватерніон   називають спряженим до  .
  •  
  • Як і для комплексних чисел, норма кватерніона визначають як  
  •  

Якщо   то   називають одиничним кватерніоном. Легко перевірити, що  , тобто кватерніони мають мультиплікативну норму; з цього співвідношення випливає так звана тотожність чотирьох квадратів.

Алгебраїчні властивостіРедагувати

Виходячи з вищенаведених властивостей уявних одиниць, можна отримати такі властивості:

З некомутативності множення випливає, що система кватерніонів не є полем. Проте вона є тілом і, таким чином, не містить дільників нуля. Тіло кватерніонів зазвичай позначається  . Сказане вище свідчить про здійсненність ділення в системі кватерніонів, але слід розрізняти ліве та праве ділення.

Чотири базисних кватерниона і чотири протилежних їм за знаком кватерніона утворюють групу кватерніонів по множенню (з порядком 8) . Тобто  

Детальніше про векторне представленняРедагувати

Оскільки кватерніон   можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:

 .

Виявляється, що множення кватерніонів можна записати через скалярний та векторний добутки відповідних 3-вимірних векторів:

 

При такому підході чисто векторні кватерніони можна ототожнити з 3-вимірними векторами. Тоді добуток двох таких кватерніонів можна отримати, віднявши від їх векторного добутку їх скалярний добуток:

 

Піднесення до степеняРедагувати

Рівність

 

доводиться подібно до формули Ейлера зіставленням рядів Тейлора з обох боків.

Запишемо кватерніон у векторній (тригонометричній) формі

 
  • Натуральний степінь:
 

Використавши математичну індукцію отримаємо:

 
  • Дійсний степінь:
 
 

Піднесення кватерніона до дійсного степеня використовується для інтерполяції поворотів з постійною кутовою швидкістю.

Кватерніони і повороти просторуРедагувати

Комплексні кватерніониРедагувати

Іноді означені в цій статті кватерніони називають дійсними кватерніонами, розглядаючи також комплексні кватерніони, означення яких відрізняється від наведеного лише тим, що   — комплексні числа. При цьому комплексна одиниця   не ототожнюється з кватерніонною одиницею   так що їх доводиться позначати по-різному (наприклад, з використанням наведених вище альтернативних позначень або виділяючи кватерніонні одиниці жирним шрифтом).

ІсторіяРедагувати

 
Пам'ятна табличка на мосту Брум Бридж в Дубліні: «Тут на прогулянці, 16 жовтня 1843 року, під час спалаху генію, сер Вільям Ровен Гамільтон відкрив формулу множення кватерніонів» i2 = j2 = k2 = ijk = −1

Система кватернионов була вперше опублікована Гамільтоном у 1843 році. Історики науки також виявили начерки по цій темі в неопублікованих рукописах Ґауса 1819—1820 років.

Бурхливий і надзвичайно плідний розвиток комплексного аналізу в XIX столітті стимулювало у математиків інтерес до наступної задачі: знайти новий вид чисел, аналогічний за властивостями комплексним, але містить не одну, а дві уявні одиниці. Передбачалося, що така модель буде корисна для розв'язання просторових задач математичної фізики. Однак робота в цьому напрямку виявилася безуспішною.

Новий тип чисел був виявлений ірландським математиком Вільямом Гамільтоном в 1843 році, і він містив не дві, як очікувалося, а три уявні одиниці. Гамільтон назвав ці числа кватернионами. Ця модель досить швидко принесла практичну користь. Пізніше на основі алгебри кватерніонів був створений тривимірний векторний аналіз (Ґібс, Гевісайд).

Сучасне використанняРедагувати

У XX столітті намагалися використовувати кватерніонні моделі у квантовій механіці й теорії відносності. Реальне застосування кватерніони знайшли в сучасній комп'ютерній графіці і програмуванні ігор , а також в обчислювальній механіці, в інерціальній навігації і теорії управління .У багатьох областях застосування були знайдені більш загальні і практичні засоби, ніж кватерніони. Наприклад, у наші дні для дослідження рухів в просторі найчастіше застосовують матричне числення .Однак там, де важливо описувати тривимірний поворот за допомогою мінімального числа скалярних параметрів, використання параметрів Родріго — Гамільтона (тобто чотирьох компонент кватерніона повороту) досить часто виявляється кращим: такий опис ніколи не вироджується, а при описі поворотів трьома параметрами (наприклад, кутами Ойлера ) завжди існують критичні значення цих параметрів.

ДжерелаРедагувати

  • Математический энциклопедический словарь. Москва, 1988.