Дуальні числа (комплексні числа параболічного типу) — гіперкомплексні числа виду , де  — дійсні числа; уявна одиниця, така що .

Множина всіх дуальних чисел утворює двовимірну комутативну асоціативну алгебру з одиницею над полем дійсних чисел . На відміну від поля комплексних чисел, ця алгебра містить дільники нуля, причому всі вони мають вигляд .

Дуальні числа — одна із двовимірних гіперкомплексних систем поряд з комплексними та подвійними числами.

ВизначенняРедагувати

Алгебраїчне визначенняРедагувати

Дуальні числа — це пари дійсних чисел виду  , для яких визначені операції множення і додавання за правилами:

 
 

Числа виду   ототожнюються при цьому з дійсними числами, а число   позначається  , після чого визначаючі тотожності приймають вигляд:

 
 
 

Матричне представленняРедагувати

Дуальні числа можна представити як матриці з дійсних чисел, при цьому додаванню дуальних чисел відповідає додавання матриць, а множенню чисел — множення матриць. Покладемо  . Тоді довільне дуальне число набуде вигляду

 .

Показникова формаРедагувати

Для експоненти з дуальним показником вірною є наступна рівність:

 

Дана формула дозволяє представити будь-який дуальне число в показниковій формі і знайти його логарифм по дійсній основі. Вона може бути доведена розкладанням експоненти в ряд Тейлора:

 

При цьому всі члени вище першого порядку дорівнюють нулю.

КореніРедагувати

Корінь n-го ступеня з числа виду   визначається як:

 

ДиференціюванняРедагувати

Дуальні числа дозволяють проводити автоматичне диференціювання функцій. Розглянемо для початку дійсний многочлен виду  . Природно продовжити його область визначення з дійсних чисел на дуальні числа. Нескладно переконатися, що при цьому   — похідна многочлена   по  . Після цього є природним продовжити область визначення всіх трансцендентних функцій на площину дуальних чисел за правилом  , де   — похідна функції  . Таким чином, виконуючи обчислення не над дійсними, а над дуальним числами, можна автоматично отримувати значення похідної функції в точці. Особливо зручно розглядати таким чином композиції функцій.

Можна провести аналогію між дуальним числами і нестандартним аналізом. Уявна одиниця ε кільця дуальних чисел багато в чому подібна до нескінченно малого числа з нестандартного аналізу: будь-який степінь (вище першого)   у точності дорівнює 0, у той час як будь-який степінь нескінченно малого числа приблизно дорівнює 0 (є нескінченно малою більш високого порядку). Значить, якщо   — нескінченно мале число, то з точністю до   гіпердійсні числа ізоморфні дуальним.

ЛітератураРедагувати