Правильний многокутник

Пра́вильний многоку́тник (багатоку́тник, поліго́н) — многокутник, у якого всі кути і всі сторони рівні між собою.

Правильний семикутник

Властивості

Координати

Нехай $x_{0}$ та $y_{0}$ — координати центра, а $R$ — радіус описаного навколо правильного многокутника кола, ${\phi }_{0}$ — кутова координата першої вершини, тоді декартові координати вершин правильного многокутника визначаються формулами

$x_{i}=x_{0}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)$,

$y_{i}=y_{0}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)$,

де $i=0,\dots ,n-1$.

Розміри

Нехай $R$ — радіус описаного навколо правильного многокутника кола; тоді радіус вписаного кола дорівнює

$r=R\cos {\frac {\pi }{n}}$,

а довжина сторони многокутника рівна

$t=2R\sin {\frac {\pi }{n}}$.

Площа

Площа правильного многокутника з числом сторін $n$ та довжиною сторони $t$ обчислюється за формулою

$S={\frac {n}{4}}t^{2}\mathop {\mathrm {ctg} } \,{\frac {\pi }{n}}$.

Площа правильного многокутника з числом сторін $n$, вписаного в коло радіусу $R$ обчислюється за формулою

$S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}$.

Площа правильного многокутника з числом сторін $n$, описаного навколо кола радіусу $r$ обчислюється за формулою

$S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}$ (площа основи n-кутної правильної призми)

Правильний многокутник може бути розкладеним на стільки рівних рівнобічних трикутників, скільки в нього є сторін. Кожний із трикутників має за основу сторону многокутника, а як висоту — апофему. Досить згадати, як знаходять площу трикутника, тобто

$S={\frac {1}{2}}bh,$

де S — площа, b — основа, h — висота. Отже, площа правильного многокутника обчислюється за формулою:

$S={\frac {1}{2}}lan={\frac {1}{2}}pa$

де l — сторона, a — апофема, n — кількість сторін, p — периметр.

Обернені формули:

$p={\frac {2S}{a}}$
$a={\frac {2S}{p}}$

Щоб полегшити ситуацію, для кожного правильного многокутника знайшли відношення між апофемою і стороною. Для правильного трикутника таке відношення становить ~0,29, для квадрата — 0,5, для правильного п'ятикутника — ~0,69, для шестикутника — ~0,87 і т. д.

Застосування

Правильними многокутниками за визначенням є грані правильних многогранників.

Давньогрецькі математики (Антіфон, Брісон, Архімед та ін.) використовували правильні многокутники для обчислення числа $\pi$. Вони обчислювали площі вписаних в коло і описаних навколо нього многокутників, поступово збільшуючи число їх сторін і отримуючи таким чином оцінку площі кола.

Історія

Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна отримати шуканий многокутник.

Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у Книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Окрім цього, він вже визначив певний критерій можливості побудувати многокутник: хоча цей критерій і не було озвучено в «Началах», давньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2^m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже побудований многокутник з числом сторін 2^{m — 1}: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що стародавні математики вміли будувати правильні многокутники з $2^{m}\cdot {p_{1}}^{k_{1}}\cdot {p_{2}}^{k_{2}}$ сторонами, де m — ціле невід'ємне число, ${p_{1}},{p_{2}}$ — числа 3 та 5, а ${k_{1}},{k_{2}}$ приймають значення 0 або 1.

Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише 1796 року Карлу Фрідріху Гаусу вдалося довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться 17, 257 и 65537, його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює $2^{k_{0}}{p_{1}}^{k_{1}}{p_{2}}^{k_{2}}\cdots {p_{s}}^{k_{s}}$, де ${k_{0}}$ — ціле невід'ємне число, ${k_{1}},{k_{2}}\cdots {k_{s}}$ приймають значення 0 або 1, а $\mathrm {p_{j}}$ — прості числа Ферма.

Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено П'єром Лораном Ванцелем 1836 року.

Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов правильного 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було знайдено Йоханесом Ерхінгером 1825 року, другу — Фрідріхом Юліусом Рішело 1832 року, третю — Іоганом Густавом Гермесом 1894 року.

З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.