Правильний многокутник
Пра́вильний многоку́тник (багатоку́тник, поліго́н) — многокутник, у якого всі кути і всі сторони рівні між собою.
ВластивостіРедагувати
КоординатиРедагувати
Нехай та — координати центра, а — радіус описаного навколо правильного многокутника кола, — кутова координата першої вершини, тоді декартові координати вершин правильного многокутника визначаються формулами
- ,
- ,
де .
РозміриРедагувати
Нехай — радіус описаного навколо правильного многокутника кола; тоді радіус вписаного кола дорівнює
- ,
а довжина сторони многокутника рівна
- .
ПлощаРедагувати
Площа правильного многокутника з числом сторін та довжиною сторони обчислюється за формулою
- .
Площа правильного многокутника з числом сторін , вписаного в коло радіусу обчислюється за формулою
- .
Площа правильного многокутника з числом сторін , описаного навколо кола радіусу обчислюється за формулою
- (площа основи n-кутної правильної призми)
Правильний многокутник може бути розкладеним на стільки рівних рівнобічних трикутників, скільки в нього є сторін. Кожний із трикутників має за основу сторону многокутника, а як висоту — апофему. Досить згадати, як знаходять площу трикутника, тобто
де S — площа, b — основа, h — висота. Отже, площа правильного многокутника обчислюється за формулою:
де l — сторона, a — апофема, n — кількість сторін, p — периметр.
Обернені формули:
Щоб полегшити ситуацію, для кожного правильного многокутника знайшли відношення між апофемою і стороною. Для правильного трикутника таке відношення становить ~0,29, для квадрата — 0,5, для правильного п'ятикутника — ~0,69, для шестикутника — ~0,87 і т. д.
ЗастосуванняРедагувати
Правильними многокутниками за визначенням є грані правильних многогранників.
Давньогрецькі математики (Антіфон, Брісон, Архімед та ін.) використовували правильні многокутники для обчислення числа . Вони обчислювали площі вписаних в коло і описаних навколо нього многокутників, поступово збільшуючи число їх сторін і отримуючи таким чином оцінку площі кола.[1]
ІсторіяРедагувати
Побудова правильного многокутника (n-кутника) за допомогою циркуля та лінійки залишалась проблемою для математиків до XIX століття. Така побудова ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна отримати шуканий многокутник.
Евклід у своїх «Началах» описав побудову правильних многокутників у Книзі IV і вирішив задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Він визначив певний критерій можливості побудувати многокутник, хоча цей критерій і не було описано в «Началах». Давньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже побудований многокутник із кількістю сторін 2m — 1: поділом дуги на дві частини. Таким чином із двох півкіл можна побудувати квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в тій же книзі Евклід вказав і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, де r та s — взаємно прості числа, то можна побудувати і многокутник із r × s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна дійти висновку, що стародавні математики вміли будувати правильні многокутники з сторонами, де m — ціле невід'ємне число, — числа 3 та 5, а приймають значення 0 або 1.
Середньовічна математика майже ніяк не просунулась у цьому питанні. Лише 1796 року Карлу Фрідріху Гаусу вдалося довести, що коли кількість сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, належать 17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, із цього випливає, що правильний многокутник можливо побудувати, якщо кількість його сторін дорівнює , де — ціле невід'ємне число, набувають значення 0 або 1, а — прості числа Ферма.
Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але й необхідною, але вперше це довів П'єр Лоран Ванцель 1836 року.
Крапку в справі побудови правильних многокутників поставила побудова правильних 17-, 257- та 65537-кутників. Першу винайшов Йоханес Ерхінгер 1825 року, другу — Фрідріх Юліус Рішело 1832 року, третю — Іоган Густав Гермес 1894 року.
Відтоді проблема вважається повністю вирішеною.
Див. такожРедагувати
ПриміткиРедагувати
- ↑ Жуков А. В. Про число . — М.: МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |