Відкрити головне меню

Пра́вильний многоку́тник (багатоку́тник, поліго́н) — многокутник, у якого всі кути і всі сторони рівні між собою.

Зміст

ВластивостіРедагувати

КоординатиРедагувати

Нехай   та   — координати центра, а   — радіус описаного навколо правильного многокутника кола,   — кутова координата першої вершини, тоді декартові координати вершин правильного многокутника визначаються формулами

 ,
 ,

де  .

РозміриРедагувати

Нехай   — радіус описаного навколо правильного многокутника кола; тоді радіус вписаного кола дорівнює

 ,

а довжина сторони многокутника рівна

 .

ПлощаРедагувати

Площа правильного многокутника з числом сторін   та довжиною сторони   обчислюється за формулою

 .

Площа правильного многокутника з числом сторін  , вписаного в коло радіусу   обчислюється за формулою

 .

Площа правильного многокутника з числом сторін  , описаного навколо кола радіусу   обчислюється за формулою

  (площа основи n-кутної правильної призми)

Правильний многокутник може бути розкладеним на стільки рівних рівнобічних трикутників, скільки в нього є сторін. Кожний із трикутників має за основу сторону многокутника, а як висоту — апофему. Досить згадати, як знаходять площу трикутника, тобто

 

де S — площа, b — основа, h — висота. Отже, площа правильного многокутника обчислюється за формулою:

 

де l — сторона, a — апофема, n — кількість сторін, p — периметр.

Обернені формули:

 
 

Щоб полегшити ситуацію, для кожного правильного многокутника знайшли відношення між апофемою і стороною. Для правильного трикутника таке відношення становить ~0,29, для квадрата — 0,5, для правильного п'ятикутника — ~0,69, для шестикутника — ~0,87 і т. д.

ЗастосуванняРедагувати

Правильними многокутниками за визначенням є грані правильних многогранників.

Давньогрецькі математики (Антіфон, Брісон, Архімед та ін.) використовували правильні многокутники для обчислення числа  . Вони обчислювали площі вписаних в коло і описаних навколо нього многокутників, поступово збільшуючи число їх сторін і отримуючи таким чином оцінку площі кола.[1]

ІсторіяРедагувати

Побудова правильного многокутника (n-кутника) залишалась проблемою для математиків аж до XIX століття. Така побудова ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна отримати шуканий многокутник.

Евклід у своїх «Началах» займався побудовою правильних многокутників у Книзі IV, вирішуючи задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Окрім цього, він вже визначив певний критерій можливості побудувати многокутник: хоча цей критерій і не було озвучено в «Началах», давньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже побудований многокутник з числом сторін 2m — 1: користуючись вмінням розбиття дуги на дві частини, з двох півкіл ми будуємо квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в цій же книзі Евклід вказує і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, і r та s взаємно прості числа, то можна побудувати і многокутник з r · s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна прийти до висновку, що стародавні математики вміли будувати правильні многокутники з   сторонами, де m — ціле невід'ємне число,   — числа 3 та 5, а   приймають значення 0 або 1.

Середньовічна математика майже ніяк не просунулась в цьому питанні. Лише 1796 року Карлу Фрідріху Гаусу вдалося довести, що коли число сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, відносяться 17, 257 и 65537, його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, з цього випливає, що правильний многокутник можливо побудувати, якщо число його сторін дорівнює  , де   — ціле невід'ємне число,   приймають значення 0 або 1, а   — прості числа Ферма.

Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але і необхідною, але вперше це було доведено П'єром Лораном Ванцелем 1836 року.

Крапку в справі побудови правильних многокутників поставило знаходження побудов правильного 17-, 257- та 65537-кутника. Першу було знайдено Йоханесом Ерхінгером 1825 року, другу — Фрідріхом Юліусом Рішело 1832 року, третю — Іоганом Густавом Гермесом 1894 року.

З тих пір проблема вважається повністю вирішеною.

ПриміткиРедагувати

  1. Жуков А. В. Про число  . — М.: МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.