Експонента (функція)

Експонентапоказникова функція , де число Ейлера .

Графік експоненти (синім).
Дотична (червоним) в нулі у функції нахилена на .
Поруч для прикладу показано (точками) і (пунктиром)

ВизначенняРедагувати

Експоненціальна функція може бути визначена різними еквівалентними способами. Наприклад, через ряд Тейлора:

 

або через границю:

 

Тут   — будь-яке комплексне число.

ВластивостіРедагувати

  •  , а зокрема, експонента — єдине рішення диференціального рівняння   з початковими даними  . Крім того, через експоненту виражаються загальні рішення однорідних диференціальних рівнянь.
  • Експонента визначена на всій дійсній осі. Вона всюди зростає і строго більше нуля.
  • Експонента — опукла функція.
  • Обернена функція до неї — натуральний логарифм  .
  • Фур'є-образ експоненти не існує.
  • Однак перетворення Лапласа існує.
  • Похідна в нулі дорівнює  , тому дотична до експоненті в цій точці проходить під кутом  .
  • Основна функціональна властивість експоненти, як і всякої показникової функції:
     .
    • Безперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює  , або має вигляд  , де   — деяка константа.

Комплексна експонентаРедагувати

 
Графік експоненти в комплексній площині.
Легенда

Комплексна експонента — математична функція, що задається співвідношенням  , де   є комплексне число. Комплексна експонента визначається як аналітичне продовження експоненти   речовинного змінного  :

Визначимо формальний вираз

 .

Визначений таким чином вираз на дійсній осі буде збігатися з класичною дійсною експонентою. Для повної коректності побудови необхідно довести аналітичність функції  , тобто показати, що   розкладається в деякий збіжний ряд, що збігається до даної функції . Покажемо це:

 

Збіжність цього ряду легко доводиться:

 .

Ряд усюди збігається абсолютно, тобто взагалі усюди збігається, таким чином, сума цього ряду в кожній конкретній точці буде визначати значення аналітичної функції  . Згідно теореми єдиності, отримане продовження буде єдино, отже, на комплексній площині функція   всюди визначена і аналітична.

ВластивостіРедагувати

  • Комплексна експонента — ціла голоморфна функція на всій комплексній площині. В жодній точці вона не звертається в нуль.
  •  періодична функція з основним періодом 2πi:  . У силу періодичності комплексна експонента безкінечнолистна. В якості її області однолистності можна вибрати будь-яку горизонтальну смугу висотою  .
  •   — єдина з точністю до постійного множника функція, похідна (а відповідно, і первісна) якої збігається з вихідною функцією.
  • Алгебраїчно експонента від комплексного аргументу   може бути визначена наступним чином:
      (формула Ейлера)

Варіації та узагальненняРедагувати

Аналогічно експонента визначається для елемента довільної асоціативної алгебри. У конкретному випадку потрібен також доказ того, що зазначені межі існують.

Матрична експонентаРедагувати

Експоненту від квадратної матриці (або лінійного оператора) можна формально визначити, підставивши матрицю у відповідний ряд:

 

Визначений таким чином ряд збігається для будь-якого оператора   з обмеженою нормою, оскільки мажорується поруч для експоненти норми     Отже, експонента матриці   завжди визначена і сама є матрицею.

За допомогою матричної експоненти легко задати вид рішення лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами: рівняння   з початковою умовою   має своїм рішенням  

h-експонентаРедагувати

Введення  -експоненти засноване на другій чудовій границі:

 

При   виходить звичайна експонента[1].

Обернена функціяРедагувати

Обернена функція до експоненційної функції — натуральний логарифм. Позначається  :

 

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  1. A.I. Olemskoi, S.S. Borysov, a, and I.A. Shuda. Statistical field theories deformed within different calculi. Архів оригіналу за 21 вересня 2017. Процитовано 26 березня 2020. 

ЛітератураРедагувати

  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
  • Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

ПосиланняРедагувати