Відкрити головне меню
Показникова функція

Показнико́ва, або експоненці́йна фу́нкція (англ. exponential function) — функція виду , де  — стале число (додатне, але відмінне від одиниці).

У дійсному випадку основа степеня — деяке додатне дійсне число, а аргументом функції є дійсний показник степеня.

Показникова функція узагальнюється в теорії комплексних функцій, де аргумент і показник степеня можуть бути довільними комплексними числами.

У найзагальнішому вигляді — , введена Лейбніцем 1695 року.

Особливо виділяється випадок, коли як основа степеня виступає число e. Така функція називається експоне́нтою (дійсною або комплексною).

ВизначенняРедагувати

Нехай   — додатне дійсне число,   — раціональне число:  . Тоді   визначається за такими правилами.

  • Якщо  , то  .
  • Якщо  , то  .
  • Якщо  , то   (для  ).

Показникову функцію   можливо схаректирузувати багатьма еквівалентними способами. Зазвичай її визначають за допомогою наступного степеневого ряду:[1]

 

Оскільки радіус збіжності цього степеневого ряду є нескінченним, це визначення застосовується для всіх комплексних чисел  . Сталу e можна визначити як  .

Для довільного дійсного показника   значення   можна визначити як границю послідовності  , де   — раціональні числа, що сходяться до  . Для експоненти є й інші визначення через границю, наприклад:

 

Основні властивостіРедагувати

Дійсну показникову функцію визначено на всій дійсній осі більше нуля. При   вона всюди зростає; при   функція спадає на всій області визначення.

Виконуються тотожності

  •  
  •  
  •  

Зворотна функція до показникової функції — логарифм.

Показникова функція росте на нескінченності швидше будь-якої степеневої:

 

Показникова функція нескінченно диференційована, її похідною є  

ЕкспонентаРедагувати

 
e — це таке унікальне число a, при якому похідна (іншими словами тангенс кута нахилу дотичної) показникової функції f (x) = ax (синя крива) в точці x = 0 в точності дорівнює 1. Для порівняння показані функції 2x (точкова крива) та 4x (пунктирна крива); тангенс нахилу їхньої дотичної відмінний від 1 (ця дотична намальована червоним)

Експонента ( ) — функція  , де e — основа натурального логарифма (  — число Ейлера).

ВластивостіРедагувати

Експонента є визначеною на всій дійсній осі. Вона усюди зростає й є більшою за нуль. Зворотною функцією до неї є натуральний логарифм.

Експонента є нескінченно диференційованою. Її похідна в точці нуль дорівнює «1», тому дотична в цій точці проходить під кутом 45°.

Основна функціональна властивість експоненти:  . Неперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює 0, або має вид  , де   — деяка стала.

Формальне визначенняРедагувати

 
Експоненційна функція (синя лінія), і сума перших n + 1 членів степеневого ряду записаного зліва (червона лінія).

Експоненційну функцію може бути означено двома еквівалентними способами. Через ряд Тейлора:

 

або через границю:

 

Тут x — довільне дійсне, комплексне, p-адичне число або обмежений лінійний оператор.

Комплексна експонентаРедагувати

 
Графік експоненти в комплексній площині.
Легенда

Комплексна експонента — математична функція, що означується співвідношенням  , де   є комплексним числом. Комплексна експонента означується як аналітичне продовження експоненти   дійсної змінної  :

Означмо формальний вираз

 .

Означений таким чином вираз на дійсній осі буде збігатися з класичною дійсною експонентою. Для повної коректності побудови необхідно довести аналітичність функції  , тобто показати, що   розкладається в деякий збіжний до даної функції ряд. Покажемо це:

 

Збіжність даного ряду легко доводиться:

 .

Ряд усюди збігається абсолютно, тобто взагалі всюди збігається, таким чином, сума цього ряду в кожній конкретній точці буде визначати значення аналітичної функції  . Відповідно до теореми єдиності, отримане продовження буде єдиним, отже, на комплексній площині функція   є всюди визначеною й аналітичною.

ВластивостіРедагувати

  • Комплексна експонента — ціла голоморфна функція на всій комплексній площині. Вона в жодній точці не обертається на нуль.
  •   — періодична функція з основним періодом 2πi:  . Через періодичність комплексна експонента має безліч листів[en]. Як її однолисну область можна вибрати будь-яку горизонтальну смугу висотою  .
  •   — єдина функція, похідна (а також, відповідно, й інтеграл) якої дорівнює їй самій.
  • Алгебрично експоненту від комплексного аргументу   може бути визначено наступним чином:
      (формула Ейлера)

Графіки функціїРедагувати

Показникова функція відображує будь-яку пряму в комплексній площині у логарифмічну спіраль на комплексній площині з центром в початку координат. Необхідно відмітити два особливі випадки: коли початкова пряма є паралельною до осі дійсних чисел, отримувана в результаті спіраль ніколи не замикається в собі; коли пряма є паралельною осі уявних чисел, отримувана в результаті спіраль є колом із деяким радіусом.

ПриміткиРедагувати

  1. Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (вид. 3rd). New York: McGraw-Hill. с. 1. ISBN 978-0-07-054234-1.  (англ.)

ЛітератураРедагувати

  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 

ПосиланняРедагувати