У математичному аналізі тотожність Ейлера, що названа на честь Леонарда Ейлера, це рівняння

де
 — це число Ейлера, основа натуральних логарифмів;
 — це уявна одиниця, комплексне число, квадрат якого дорівнює ;
 — це число пі, відношення довжини кола круга до його діаметра.

Тотожність Ейлера також називають «рівнянням Ейлера».

Значення тотожності

ред.

Тотожність Ейлера є прекрасним зразком єдності математики. Як зауважив Елі Маор, вона поєднує три основні математичні операції, а саме додавання, множення, і піднесення до степеня і п'ять фундаментальних математичних констант, що належать до чотирьох класичних галузей математики:

Не дивно, що чимало хто знайшов у тотожності Ейлера містичні значення усіх зразків. («These five constants symbolize the four major branches of classical mathematics: arithmetic, represented by 0 and 1; algebra, by i; geometry, by π; and analysis by e. No wonder that many people have found in Euler's formula all kinds of mystic meanings.»)

Тотожність Ейлера викликала багато захоплених відгуків.

Після доведення тотожності Ейлера в лекції, Бенджамін Пірс, відомий математик XIX сторіччя і професор Гарвардського університету, сказав, «Це абсолютно парадоксально; ми не можемо зрозуміти це, і ми не знаємо, що це означає, але ми довели це, і тому знаємо, що це повинно бути істиною.»[5]

Доведення

ред.
 
Демонстрація формули Ейлера у комплексній площині

Тотожність Ейлера випливає із формули Ейлера, що має вид:

 

для будь-якого дійсного числа  . Зокрема, якщо

  то  

Оскільки

  та   отримуємо  

що і доводить тотожність

 

Загальнішим чином, можна довести, що

 

Тотожність Ейлера відповідає  

Примітки

ред.
  1. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Глав. Ред. М. Д. Аксёнова. —М.: Аванта+, 2000. -688 с.: ил., стр. 212
  2. Derbyshire p.210.
  3. Crease, 2004.
  4. Reid, From Zero to Infinity.
  5. Maor p.160 and Kasner & Newman p.103–104.

Посилання

ред.
  • Crease, Robert P., «The greatest equations ever», PhysicsWeb, October 2004.
  • Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (New York: Penguin, 2004).
  • Kasner, E., and Newman, J., Mathematics and the Imagination (Bell and Sons, 1949).
  • Maor, Eli, e: The Story of a number (Princeton University Press, 1998), ISBN 0-691-05854-7
  • Reid, Constance, From Zero to Infinity (Mathematical Association of America, various editions).