Піднесення до степеня

Результати обчислення п о р
Додавання (+)
1-й доданок + 2-й доданок =	сума
Віднімання (−)
зменшуване − від'ємник =	різниця
Множення (×)
1-й множник × 2-й множник =	добуток
Ділення (÷)
ділене ÷ дільник =	частка
Ділення з остачею (mod)
ділене mod дільник =	остача
Піднесення до степеня
основа степеня^{показник степеня} =	степінь
Обчислення кореня (√)
$показник кореня \sqrt підкореневий вираз$ =	корінь
Логарифм (log)
log_основа(число) =	логарифм

Підне́сення до сте́пеня — бінарна операція, записується як $\ a^{n},$ для основи степеня $\ a$ та показника степеня $\ n,$ в результаті застосування отримується степінь^[1].

Графік функції $y = b x$ для різних значень основи b: для 10 (зеленим), для основи e (червоним), для 2 (синім), і 1/2 (блакитним). Кожна крива проходить через точку $(0, 1)$ , оскільки будь-яке число, піднесене до степеня 0, дасть значення 1. При $x = 1$ значення y дорівнює основі, оскільки будь-яке число, піднесене до степеня 1, є самим числом.

Якщо n — натуральне число, піднесення до степеня відповідає n-кратному множенню:

a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}.

Подібно до того, як множення на ціле число відповідає багатократному додаванню:

a\times n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}.

.

Другий степінь називають інакше квадратом, третій степінь — кубом, четвертий — біквадратом. Першим степенем числа називають саме число, наприклад 7¹ = 7^*.

Історія

Поняття степеня використовувалося давньогрецьким математиком Евклідом для дослідження квадрату прямої^[2]. Архімед відкрив і довів закон для степенів — 10^a 10^b = 10^a+b, необхідний, щоб оперувати степенями числа 10^[3]. У IX столітті перський математик Аль-Хорезмі використовував терміни мал для квадрата і кахб для куба, які згодом ісламські математики представляли у вигляді математичної нотації як m і k, відповідно, як видно із роботи Аль Каласаді^[en] до XV століття^[4].

У кінці XVI століття Йост Бургі^[en] для степенів використовував римські літери^[5].

На початку XVII століття першу форму сучасного позначення степеня запропонував Рене Декарт у своїй праці під назвою La Géométrie; у книзі I і було введено відповідні позначення^[6].

Деякі математики (наприклад, Ісаак Ньютон) використовували експоненти лише для степенів, що більші за двійку, для позначення квадрату вони віддавали перевагу використовувати множення із повторенням. Таким чином вони б записали поліноми, наприклад, як ax + bxx + cx³ + d.

Ніколас Шуке^[en] використовував форму показникового запису в XV столітті, яку згодом використали Геріх Грамматеус^[en] і Міхаель Штифель у XVI столітті. Слово «експонента» виникло в 1544 році завдяки Міхаелю Штифелю^[7]. У XVI столітті Роберт Рекорд використовував терміни квадрат, куб, дзензизензик (четвертий степінь), сурсолід (п'ятий), дзензікуб (шостий), другий сурсолід (сьомий), і дзензизензензик (восьмий)^[8]. Також для назви 4-го степеня використовували слово біквадрат.

Інший синонім, що існував в історії, інволюція^[9], зараз вживають рідко і його не варто плутати із більш загальним значенням цього слова.

У 1748 році Леонард Ейлер написав:

...розглянемо експоненти або степені, в яких сама експонента (показник) є змінною. Очевидно, що величини такого типу не є алгебраїчними функціями, оскільки в них показних мав би бути константою^[10].

Із цим введенням у трансцендентні функції, Ейлер заклав початок сучасному введенню в натуральний логарифм, що є оберненою функцією для y = e^x.

Для цілих показників

Нульовий показник

При піднесені до степеня 0 будь-якого ненульового числа результатом буде 1^[11]:

b^{0}=1

одне з пояснень —

b^{n}/b^{n}=1

Однією з інтерпретацій для пояснення такого випадку є уявлення про порожній добуток.

Більш спірним випадком є випадок 0⁰ — нуль у нульовому степені.

Від'ємні показники

Наведене нижче рівняння є справедливим для будь-якого довільного цілого числа n і не нульового x:

x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}

Піднесення числа 0 до від'ємного показника степеня вважають або не визначеним, або визначеним як нескінченність $\infty$ .

Приведена вище рівність може бути доведена з визначення, якщо продовжити значення показника у від'ємну область цілих чисел.

Для не нульових значень x і додатних n рекурентна рівність записана зверху може бути представлена як

x^{n}={x^{n+1}}/{x},\quad n\geq 1.

Із визначення, що це рівняння є правдивим для всіх цілих чисел n і ненульових x, випливає, що

{\begin{aligned}x^{0}&={x^{1}}/{x}=1\\x^{-1}&={x^{0}}/{x}={1}/{x}\end{aligned}}

і в більш загальній формі для будь-якого ненульового x і будь-яких невід'ємних цілих n,

x^{-n}={1}/{x^{n}}.

Видно, що це є вірним для всіх цілих чисел n.

Комбінаторна інтерпретація

Для невід'ємних цілих n і m степінь n^m є числом функцій із множини з m елементів у множину з n елементів (див. кардинальне експонування). Така функція може бути представлена як m-кортежів із множини n-елементів (або слово із m-літер, що належить алфавіту, в якому є n-літер).

0⁵ = │ { } │ = 0	Не існує 5-елементного кортежу, який можна було б побудувати із пустої множини.
1⁴ = │ { (1,1,1,1) } │ = 1	Існує один 4-елементний кортеж із множини з одного елемента.
2³ = │ { (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2) } │ = 8	Існує вісім 3-елементних кортежів із множини з двох елементів.
3² = │ { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) } │ = 9	Існує дев'ять 2-елементних кортежів із множини з трьох елементів.
4¹ = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4	Існує чотири 1-елементні кортежі із множини з чотирьох елементів.
5⁰ = │ { () } │ = 1	Існує лише один 0-кортеж.

Тотожності і властивості

Наступні тотожності виконуються для всіх цілих показників, за умови що основа не є нулем:

{\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}&\color {red}\overbrace {\color {black}b\cdot b\cdot \ldots \cdot b} ^{n}\cdot \color {blue}\overbrace {\color {black}b\cdot b\cdot \ldots \cdot b} ^{m}\color {black}=\overbrace {\color {black}b\cdot b\cdot \ldots \cdot b} ^{\color {green}m+n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}&\color {blue}\underbrace {\overbrace {\color {black}b\cdot b\cdot \ldots \cdot b} ^{\color {red}n}\cdot \overbrace {\color {black}b\cdot b\cdot \ldots \cdot b} ^{\color {red}n}\cdot \ldots \cdot \overbrace {\color {black}b\cdot b\cdot \ldots \cdot b} ^{\color {red}n}} _{\color {blue}m}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}&\overbrace {(bc)\cdot (bc)\cdot \ldots \cdot (bc)} ^{n}=\overbrace {b\cdot b\ldots b} ^{n}\cdot \overbrace {c\cdot c\ldots c} ^{n}\\b^{n}:b^{m}&=b^{n-m}&{\frac {\overbrace {\color {red}b\cdot b\cdot \ldots \color {black}\cdot b} ^{\color {blue}n}}{\underbrace {\color {red}b\cdot b\cdot \ldots \color {black}\cdot b} _{\color {blue}m}}}\\({\frac {b}{c}})^{n}&={\frac {(b)^{n}}{(c)^{n}}}&\color {red}\underbrace {\color {black}{\frac {b}{c}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot \ldots \cdot {\frac {b}{c}}} _{\color {red}n}=\color {black}{\frac {b^{n}}{c^{n}}}\end{aligned}}

Операція піднесення до степеня не є комутативною. Як протилежність — операції додавання і множення комутативні.

Наприклад,

$2 + 3 = 3 + 2 = 5$ і $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2 = 6$ ,

але $23 = 8$ , оскільки $32 = 9$ .

Операція піднесення до степеня також не є асоціативною.

Приводячи приклад із додаванням і множенням, які є асоціативними, маємо:

$(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9$ і

$(2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4) = 24$ ,

але 2³ на 4 дорівнює 8⁴ або 4096, в той час як 2 на 3⁴ дорівнює 2⁸¹ або 2417851639229258349412352.

Без дужок, які задають порядок дій, загальноприйнятим є порядок зверху вниз (тобто з асоціативністю справа наліво), а не знизу вгору^[12] (з асоціативністю зліва направо):

b^{p^{q}}=b^{(p^{q})}\neq (b^{p})^{q}=b^{(p\cdot q)}=b^{p\cdot q}.

Google і WolframAlpha у своїх додатках слідують вищезгаданому правилу, але варто зазначити, що деякі комп'ютерні програми, як-от Microsoft Excel і MATLAB, виконують операції зліва (зверху вниз), тобто a^b^c розраховується як (a^b)^c.

Див. також: Черговість операцій

Окремі значення основ

Степені десятки

Див. також: Експоненціальний запис

У десятковій системі числення цілі степені числа 10 записуються у вигляді цифри 1, за якою слідує ряд нулів, що визначаються знаком і величиною показника. Наприклад, $103 = 1000$ і $10 -4 = 0.0001$ .

Степені із основою 10 використовуються в науці як експоненційний запис для позначення дуже великих або дуже малих чисел. Наприклад, 299792458 м/с (швидкість світла у вакуумі в метрах на секунду) можна записати так: 2.99792458×10⁸ м/с, а потім апроксимовано до 2.998×10⁸ м/с.

Префікси одиниць вимірювання теж основані на степенях числа 10 і використовуються для описання малих чи великих чисел. Наприклад, префікс кіло- означає $103 = 1000$ , тому кілометр становить 1000 м.

Степені двійки

Перші від'ємні степені двійки вживаються дуже часто і мають особливі назви, такі як: половина і чверть.

Степені числа 2 з'являються в теорії множин, оскільки множина з n елементів має булеан, множина з усіх її підмножин, який має 2ⁿ елементів.

Цілі степені двійки важливі у комп'ютерній науці. Додатні цілі степені 2ⁿ задають максимальну можливу кількість значень для n-бітного цілого двійкового числа; наприклад, байт може приймати 2⁸ = 256 різних значень. Двійкова система числення дає змогу представляти будь-яке число як суму степенів 2: його можна записати як послідовність цифр 0 і 1, розділених двійковою крапкою, де 1 означає ті степені двійки, які мають з'являтися в сумі; показник степеня визначається номером позиції цієї 1: невід'ємні показники впорядковані одиницями зліва від точки (починаючи з 0), а від'ємні показники визначаються порядком в правій частині після коми.

Степені одиниці

Усі степені одиниці також дорівнюють одиниці: $1 n = 1$ .

Степені нуля

Якщо показник степеня є додатним числом, степінь нуля буде дорівнювати нулю: $0 n = 0$ , де $n > 0$ .

Якщо показник степеня є від'ємним, степінь нуля (0ⁿ, де $n < 0$ ) є невизначеною, оскільки було виконано ділення на нуль.

Якщо показник дорівнює нулю, в деяких випадках визначають це як $00 = 1$ , в той час як в інших варіантах залишають значення невизначеним.

Степені мінус одиниці

Якщо n є парним цілим, тоді $(-1) n = 1$ .

Якщо n є непарним цілим числом, тоді $(-1) n = -1$ .

Завдяки цій особливості, степені числа −1 зручно використовувати для вираження змінних послідовностей.

Великі степені

Границя числової послідовності степенів числа більшого за одиницю розходяться; іншими словами, послідовність зростає без обмеження:

b n \to \infty

при

n \to \infty

якщо

b > 1

Це читається як «b у степені n прямує до +∞ при n, що прямує до нескінченності коли b є більшою за одиницю».

Степені чисел із абсолютним значенням, що менше одиниці прямують до нуля:

b n \to 0

при

n \to \infty

якщо |b| < 1

Будь-який степінь одиниці, як уже зазначалося завжди дорівнює одиниці:

b n = 1

для всіх n якщо

b = 1

Степені числа –1 чергують значення 1 і –1 при тому n змінюється будучи то парним то непарним числом, і таким чином не прямує ні до якої границі при збільшенні n.

Якщо b < –1, $b n$ , чергується між все більшими додатними і від'ємними числами при тому як n чергується між парними і непарними значеннями, і таким чином не прямує до жодної границі при зростанні n.

Якщо значення числа, що підноситься до степеня, змінюється при тому як прямує до 1 при показникові степеня що прямує до нескінченності, тоді існування границі і її значення не обов'язково підпадає у один випадків, що описано вище. Одним із важливих часткових випадків є

(1 + 1/ n) n \to e

при

n \to \infty

Степеневі функції

Степеневі функції для

n=1,3,5

Степеневі функції для

n=2,4,6

Функції дійсних значень вигляду $f(x)=cx^{n}$ із $c\neq 0$ називають степеневими функціями. Коли $n$ є цілим числом і $n\geq 1$ , існує дві основні різновидності: для парних і непарних $n$ . В загальному випадку для $c>0$ , якщо $n$ є парним числом із збільшенням $x$ $f(x)=cx^{n}$ буде прямувати до нескінченності із знаком плюс, а також у напрямку нескінченності із знаком плюс при зменшенні $x$ . Всі графіки із родини парних степеневих функцій мають загальну форму для $y=cx^{2}$ , маючи більш плоску форму в середині із збільшенням $n$ ^[13]. Функції із таким видом симетрії ( $f(-x)=f(x)$ ) називаються парними функціями.

Коли $n$ є парним, $f(x)$ має асимптотичну поведінку яка змінюється від додатних $x$ до від'ємних $x$ . Для $c>0$ , $f(x)=cx^{n}$ також прямуватиме до нескінченності зі знаком плюс при збільшенні $x$ , але при зменшенні $x$ прямуватиме до нескінченності із знаком мінус. Усі графіки для сімейства парних степеневих функцій мають загальний вигляд для $y=cx^{3}$ , маючи більш плоску гладку форму в середині зі збільшенням $n$ і втрачають усю гладкість, перетворюючись у пряму лінію для $n=1$ . Функції з таким видом симетрії ( $f(-x)=-f(x)$ ) називаються непарними функціями.

Для $c<0$ , асимптотична поведінка із протилежними знаками зберігається в усіх випадках^[13].

Список степенів цілих чисел

n	n²	n³	n⁴	n⁵	n⁶	n⁷	n⁸	n⁹	n¹⁰
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1 024
3	9	27	81	243	729	2 187	6 561	19 683	59 049
4	16	64	256	1024	4 096	16 384	65 536	262 144	1 048 576
5	25	125	625	3 125	15 625	78 125	390 625	1 953 125	9 765 625
6	36	216	1 296	7 776	46 656	279 936	1 679 616	10 077 696	60 466 176
7	49	343	2 401	16 807	117 649	823 543	5 764 801	40 353 607	282 475 249
8	64	512	4 096	32 768	262 144	2 097 152	16 777 216	134 217 728	1 073 741 824
9	81	729	6 561	59 049	531 441	4 782 969	43 046 721	387 420 489	3 486 784 401
10	100	1000	10 000	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000	10 000 000 000

Раціональні показники

Докладніше: Корінь (математика)

Зверху до низу вказані графіки функцій: x^1/8, x^1/4, x^1/2, x¹, x², x⁴, x⁸.

Коренем n-го степеня числа b є число x таке що $x n = b$ .

Якщо b є додатним дійсним числом і n є додатним цілим, тоді існує лише одне додатне дійсне значення, що є розв'язком рівняння $x n = b$ . Цей розв'язок називається головним коренем n-го степеня для b. Він позначається виразом ⁿ√b, де √ символ корінь; аналогічним чином, головний корінь можна записати як b^1/n. Наприклад: $4 1/2 = 2$ , $8 1/3 = 2$ .

Факт, що $x=b^{1/n}$ є розв'язком для $x^{n}=b$ , випливає із наступного запису:

x^{n}=\underbrace {b^{\frac {1}{n}}\times b^{\frac {1}{n}}\times \cdots \times b^{\frac {1}{n}}} _{n}=b^{\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)}=b^{\frac {n}{n}}=b^{1}=b.

Якщо n є парним, тоді $x n = b$ при умові, що b додатне число, має два дійсні розв'язки, якими є додатний і від'ємний корені n-го степеня, тобто, $b 1/ n > 0$ і $-(b 1/ n) < 0.$ Якщо b від'ємне, то рівняння не має розв'язку у вигляді дійсного числа при парних n.

Якщо n непарне, тоді $x n = b$ має лише один дійсний розв'язок. Розв'язок буде $b 1/ n$ додатним, якщо b є додатним, і від'ємним, якщо b від'ємне.

Піднесення додатного дійсного числа b до раціонального степеня u/v, де u є цілим і v є додатним цілим, і при розгляданні лише головних коренів, є наступним

b^{\frac {u}{v}}=\left(b^{u}\right)^{\frac {1}{v}}={\sqrt[{v}]{b^{u}}}=\left(b^{\frac {1}{v}}\right)^{u}=\left({\sqrt[{v}]{b}}\right)^{u}.

Піднесення від'ємного дійсного числа b до раціонального степеня u/v, де u/v є правильним дробом, дає результат, що є додатним дійсним числом, якщо u є парним, і таким чином v є непарним, оскільки тоді b^u є додатним; і дає від'ємний дійсний результат, якщо u і v обидва є непарними, оскільки тоді b^u є від'ємним. Випадок, коли u є непарним, а v є парним, не можна визначити в рамках дійсних чисел, оскільки не існує такого дійсного числа x, щоб $x 2 k = -1$ ; при задаванні значення b^u/v у такому випадку необхідно використовувати уявну одиницю i.

Дійсні показники степеня

Тотожності й властивості, вказані вище для цілих степенів, є вірними і для додатних дійсних чисел з нецілими показниками. Однак рівність

(b^{r})^{s}=b^{r\cdot s}

не може послідовно поширюватися на випадки, коли b є від'ємним дійсним числом. Невірність цієї рівності є основою проблеми, що озвучується щодо степенів комплексних чисел.

Границі раціональних степенів

Дійсне число є границею послідовності раціональних наближень. Якщо

a=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}

де $a_{n}$ — раціональні числа, то

x^{a}=\lim _{n\rightarrow \infty }x^{a_{n}}

.

Показникова функція

Докладніше: Показникова функція

Одна з важливих математичних констант $e$ , що також називається числом Ейлера, приблизно дорівнює 2,718 і є основою натурального логарифму. Хоча піднесення у степінь числа e, по суті, можна трактувати як піднесення у степінь будь-якого іншого дійсного числа, такі степені, як виявилося, мають свої корисні і витончені властивості. Серед іншого, ці властивості дають змогу узагальнити степені e природним способом до інших типів степенів, як-от степені комплексних чисел або навіть матриць.

Як правило, нотація e^x зазвичай позначає узагальнене поняття експонування і називається показниковою функцією, exp(x), яку можна визначити багатьма способами^[en], наприклад таким:

\exp(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}

Крім інших властивостей, exp задовольняє степеневе рівняння

\exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y).

Показникова функція є визначеною для всіх цілих, дрібних, дійсних і комплексних значень змінної x. Експонента матриці добре визначена для квадратних матриць (у випадку яких експоненційне рівняння виконується, лише коли матриці x і y є комутативними) і є корисною для вирішення систем лінійних диференційних рівнянь.

Дії зі степенями

При спрощенні виразів зі степенями можна використовувати декілька базових правил або законів, що називаються правилами дій зі степенями^[14]:

1. При перемножуванні двох або більше різних степенів з однаковими основами показники степеня додаються

x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}

2. При діленні одного степеня на інший з тією ж основою показник степеня знаменника віднімається від показника степеня чисельника.

{\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}

3. При піднесені числа в якомусь степені до іншого степеню показники перемножуються.

\left(x^{a}\right)^{b}=x^{a\cdot b}

4. При піднесенні будь-якого числа (окрім нуля) в степінь із показником 0 одержуємо 1, так $3^{0}=1$

5. При піднесенні числа до степеню з від'ємним цілим показником одержуємо величину, зворотну цьому числу з додатним степенем. Таким чином,

3^{-4}={\frac {1}{3^{4}}}

.

Аналогічно,

{\frac {1}{2^{-4}}}=2^{4}

6. При піднесенні числа до дробового степеню, знаменник цього дробу є степінь кореня з числа, а чисельник є показником степеня числа. Так,

8^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{8^{2}}}=(2)^{2}=4

Функції

У комбінаториці

Докладніше: Розміщення

У комбінаториці кількість можливих розміщень із повтореннями із n елементів по m дорівнює n^m^[15]:

{\hat {P}}(n,m)=n^{m}

Наприклад, із цифр 1, 2, 3, 4 можна скласти ${\hat {P}}(4,3)=4^{3}=64$ тризначних числа.

Див. також

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Exponential function

Джерела

Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503. (укр.)
К. І. Швецов, Г. П. Бевз (1967). Довідник з елементарної математики. К. «Наукова думка»..

Посилання

Динамічні математичні моделі FIZMA.neT [Архівовано 13 вересня 2021 у Wayback Machine.]

Примітки

↑ К. І. Швецов, Г. П. Бевз (1967). Довідник з елементарної математики. К. «Наукова думка».
↑ Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Etymology of some common mathematical terms в архіві MacTutor (англ.)
↑ For further analysis see The Sand Reckoner.
↑ Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi в архіві MacTutor (англ.)
↑ Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations; Vol I. Cosimo Classics. Pg 344 ISBN 1602066841
↑ René Descartes, Discourse de la Méthode … (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book one, page 299. [Архівовано 8 жовтня 2017 у Wayback Machine.] From page 299: " … Et aa, ou a², pour multiplier a par soy mesme; Et a³, pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l'infini ; … " (… and aa, or a², in order to multiply a by itself; and a³, in order to multiply it once more by a, and thus to infinity ; …)
↑
Див.:
- Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics [Архівовано 23 грудня 2017 у Wayback Machine.]
- Michael Stifel, Arithmetica integra (Nuremberg («Norimberga»), (Німеччина): Johannes Petreius, 1544), Liber III (Книга 3), Caput III (Глава 3): De Algorithmo numerorum Cossicorum. (Про алгоритми алгебри.), page 236. [Архівовано 13 березня 2019 у Wayback Machine.] Штифель намагався отримати зручне представлення елементів геометричної прогресії. Заради цього він використав громіздку систему позначень. На 236-й сторінці він увів систему позначень для перших восьми елементів геометричної прогресії (з основою 1) і зробив запис: «Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam.» (Однак, Ви бачите, що кожен елемент послідовності має свій показник степеня (перший — 1, 1ʓ — 2, і т. д.), отже, кожне число неявно підпорядковане степеню залежному від його розташування, який [в свою чергу] підпорядковується йому і є корисним, здебільшого, при множенні та діленні, як я згадаю це трохи нижче.) [Зауваження: Більшість громіздких позначень Штифеля запозичені у Крістофа Рудольффа, який, у свою чергу, запозичив їх у книзі Леонардо Фібоначчі Liber Abaci (1202), де вони використовувались, як скорочення латинських слів res/radix (x), census/zensus (x²), and cubus (x³).]
↑ Quinion, Michael. Zenzizenzizenzic - the eighth power of a number. World Wide Words. Архів оригіналу за 16 січня 2018. Процитовано 19 березня 2010.
↑ Це визначення «інволюції» з'явилось у другому виданні OED, 1989, і в онлайн словнику Merriam-Webster [1] [Архівовано 1 листопада 2007 у Wayback Machine.]. Останнє використання в цьому сенсі, наведене OED, починається з 1806 року.
↑ Леонард Ейлер (1748) Введення в аналіз нескінченно малих^[en], англ. видання, сторінка 75
↑ Achatz, Thomas (2005). Technical Shop Mathematics (вид. 3rd). Industrial Press. с. 101. ISBN 0-8311-3086-5.
↑ Raphael M. Robinson (1958). A report on primes of the form k · 2ⁿ + 1 and on factors of Fermat numbers (PDF). Proc. Amer. Math. Soc. 9: 677. Архів оригіналу (pdf) за 28 червня 2020. Процитовано 15 січня 2018.
↑ ^а ^б Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2009). Calculus: Early Transcendentals (вид. 9th). John Wiley & Sons. с. 28.
↑ Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник — С. 27
↑ Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. (2002). Элементы дискретной математики. НГТУ. ISBN 5-7782-0332-2.

[1] К. І. Швецов, Г. П. Бевз (1967). Довідник з елементарної математики. К. «Наукова думка».

[MacTutor-2] Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Etymology of some common mathematical terms в архіві MacTutor (англ.)

[3] For further analysis see The Sand Reckoner.

[4] Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi в архіві MacTutor (англ.)

[5] Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations; Vol I. Cosimo Classics. Pg 344 ISBN 1602066841

[Descartes-6] René Descartes, Discourse de la Méthode … (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book one, page 299. [Архівовано 8 жовтня 2017 у Wayback Machine.] From page 299: " … Et aa, ou a², pour multiplier a par soy mesme; Et a³, pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l'infini ; … " (… and aa, or a², in order to multiply a by itself; and a³, in order to multiply it once more by a, and thus to infinity ; …)

[7] Див.:
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics [Архівовано 23 грудня 2017 у Wayback Machine.]

Michael Stifel, Arithmetica integra (Nuremberg («Norimberga»), (Німеччина): Johannes Petreius, 1544), Liber III (Книга 3), Caput III (Глава 3): De Algorithmo numerorum Cossicorum. (Про алгоритми алгебри.), page 236. [Архівовано 13 березня 2019 у Wayback Machine.] Штифель намагався отримати зручне представлення елементів геометричної прогресії. Заради цього він використав громіздку систему позначень. На 236-й сторінці він увів систему позначень для перших восьми елементів геометричної прогресії (з основою 1) і зробив запис: «Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam.» (Однак, Ви бачите, що кожен елемент послідовності має свій показник степеня (перший — 1, 1ʓ — 2, і т. д.), отже, кожне число неявно підпорядковане степеню залежному від його розташування, який [в свою чергу] підпорядковується йому і є корисним, здебільшого, при множенні та діленні, як я згадаю це трохи нижче.) [Зауваження: Більшість громіздких позначень Штифеля запозичені у Крістофа Рудольффа, який, у свою чергу, запозичив їх у книзі Леонардо Фібоначчі Liber Abaci (1202), де вони використовувались, як скорочення латинських слів res/radix (x), census/zensus (x²), and cubus (x³).]

[8] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics [Архівовано 23 грудня 2017 у Wayback Machine.]

[9] Michael Stifel, Arithmetica integra (Nuremberg («Norimberga»), (Німеччина): Johannes Petreius, 1544), Liber III (Книга 3), Caput III (Глава 3): De Algorithmo numerorum Cossicorum. (Про алгоритми алгебри.), page 236. [Архівовано 13 березня 2019 у Wayback Machine.] Штифель намагався отримати зручне представлення елементів геометричної прогресії. Заради цього він використав громіздку систему позначень. На 236-й сторінці він увів систему позначень для перших восьми елементів геометричної прогресії (з основою 1) і зробив запис: «Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam.» (Однак, Ви бачите, що кожен елемент послідовності має свій показник степеня (перший — 1, 1ʓ — 2, і т. д.), отже, кожне число неявно підпорядковане степеню залежному від його розташування, який [в свою чергу] підпорядковується йому і є корисним, здебільшого, при множенні та діленні, як я згадаю це трохи нижче.) [Зауваження: Більшість громіздких позначень Штифеля запозичені у Крістофа Рудольффа, який, у свою чергу, запозичив їх у книзі Леонардо Фібоначчі Liber Abaci (1202), де вони використовувались, як скорочення латинських слів res/radix (x), census/zensus (x²), and cubus (x³).]

[8] Quinion, Michael. Zenzizenzizenzic - the eighth power of a number. World Wide Words. Архів оригіналу за 16 січня 2018. Процитовано 19 березня 2010.

[9] Це визначення «інволюції» з'явилось у другому виданні OED, 1989, і в онлайн словнику Merriam-Webster [1] [Архівовано 1 листопада 2007 у Wayback Machine.]. Останнє використання в цьому сенсі, наведене OED, починається з 1806 року.

[10] Леонард Ейлер (1748) Введення в аналіз нескінченно малих^[en], англ. видання, сторінка 75

[11] Achatz, Thomas (2005). Technical Shop Mathematics (вид. 3rd). Industrial Press. с. 101. ISBN 0-8311-3086-5.

[12] Raphael M. Robinson (1958). A report on primes of the form k · 2ⁿ + 1 and on factors of Fermat numbers (PDF). Proc. Amer. Math. Soc. 9: 677. Архів оригіналу (pdf) за 28 червня 2020. Процитовано 15 січня 2018.

[:0-13] а ^б Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2009). Calculus: Early Transcendentals (вид. 9th). John Wiley & Sons. с. 28.

[14] Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник — С. 27

[15] Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. (2002). Элементы дискретной математики. НГТУ. ISBN 5-7782-0332-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]