Лінійне диференціальне рівняння

Лінійне диференціальне рівняння — звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду

де та  — функції, що залежать тільки від аргументу x.

Важливий підклас лінійних диференційних рівнянь складають лінійні диференційні рівняння зі сталими коефіцієнтами, для яких .

Рівняння

називається однорідним лінійним диференційним рівнянням.

Однорідне диференційне рівняння n-го порядку має n лінійно незалежних розв'язків.

Якщо відомий хоча б один частковий розв'язок лінійного диференційного рівняння, то його загальний розв'язок є сумою часткового розв'язку та лінійної комбінації n розв'язків однорідного диференційного рівняння.

Операторний записРедагувати

Лінійні диференціальні рівняння мають вигляд

 

де диференціальний оператор L — лінійний оператор, у — невідома функція (наприклад, від часу  ), а функція праворуч — ƒ є даною функцією такого ж характеру, як у . Для такої функції ми можемо записати рівняння явно

 

і, навіть точніше,

 

Лінійний оператор можна розглядати у формі

 

Лінійність умови на L виключає такі операції, як піднесення до квадрату похідної від у, але дозволяє, наприклад, брати другу похідну у. Зручно переписати це рівняння в операторній формі

 

де D є диференціальним оператором д / д (тобто Dy = у ', D 2 у = у ", …), і я  — задані функції.

Таке рівняння має порядок п, індекс старшої похідної у, у рівнянні.

Типовим простим прикладом лінійного диференціального рівняння є, наприклад, те, що використовуються для моделювання радіоактивного розпаду. Нехай N (т) позначає число радіоактивних атомів в деякому зразку матеріалу у час t. Тоді для деякої сталої А> 0, кількість радіоактивних атомів, що розпадається, може бути записана як

 

Якщо у вважається функцією тільки однієї змінної, то говорять про звичайне диференціальне рівняння, в іншому разі похідні та їх коефіцієнти слід розуміти як вектори, матриці або тензори, тож одержимо (лінійне) рівняння в частинних похідних.

Випадок, коли ƒ = 0, називається однорідним рівнянням . Воно особливо важливе для розв'язання у загального випадку, оскільки його розв'язки можна додавати до розв'язку неоднорідного рівняння, щоб дістати інший розв'язок (методом часткового і однорідного розв'язків). Коли я  — це числа, рівняння, називається рівнянням зі сталими коефіцієнтами.

Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтамиРедагувати

Історично перший метод розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами пов'язаний з іменем Ейлера, який зрозумів, що розв'язки мають вигляд e^{ x}, де  ,- (в загальному випадку)-комплексні значення  . Щоб сума кількох похідних функції дорівнювала нулю, похідні повинні врівноважувати одна одну, тож єдиний спосіб досягнути цього — похідні мусять мати ту ж форму, що й вихідна функція. Міркуючи так, для розв'язання

 

покладемо  , що дає

 

Діленням на   многочлен n-го порядку

 

Це алгебраїчне рівняння  , характеристичне рівняння, було розглянуто пізніше Ґаспаром Монжем і Оґюстеном-Луї Коші.

Формально, члени

 

вихідних диференціальних рівнянь замінюються на  . Розв'язок алгебраїчного рівняння дає n значень  . Підстановка будь-якого з цих значень z в   дає розв'язок   Оскільки однорідні лінійні диференціальні рівняння підпорядковані принципу суперпозиції, будь-яка лінійна комбінація цих функцій також задовольняє дане диференціальне рівняння.

Коли всі корені різні, ми маємо n різних розв'язків диференціального рівняння. Застосовуючи визначник Вандермонда, можна показати, що вони лінійно незалежні і разом утворюють базис в просторі всіх розв'язків диференціального рівняння.

Вищесказане дає розв'язок в разі, коли всі корені різні, тобто кожен з них має кратність 1. У загальному випадку, якщо z (можливо, комплексний) нуль (=корінь) Р(x), що має кратність m, то   є розв'язками ЛОР (де  ). Застосування цього до всіх коренів дає набір з n різних і лінійно незалежних функцій, де n-степінь F(x). Як і раніше, ці функції утворюють базис простору розв'язків.

Якщо коефіцієнти диференціального рівняння дійсні, то перевагу віддаємо дійснозначним розв'язкам. Оскільки комплексні (не дійсні) корені сполучені в пари спряжених, як і відповідні базисні функції, xkezx, то бажаний результат одержимо заміною кожної пари дійсною лінійною комбінацією з   і  , де y — одна з функцій пари.

Випадки, що включають комплексні корені, можуть бути розглянуті за допомогою формули Ейлера.


Приклад

 

має характеристичне рівняння

 

Його корені i, -i, й 1 (кратності 2). Базис розв'язків

 

Відповідний дійснозначний базис

 

ПрикладиРедагувати

Дано,   . Характеристичне рівняння   має корені 2 + і і 2 — і. Таким чином, базис розв'язків   є   . Тепер у є розв'язком тоді і тільки тоді   для   .

Оскільки коефіцієнти дійсні,

  • ми, ймовірно, не зацікавлені в комплексних розв'язках
  • наші базисні елементи взаємно спряжені

Лінійні комбінації

  і
 

дають нам дійсний базис   .

Простий гармонічний осциляторРедагувати

 
схематичне подання простого гармонічного осцилятора

Диференціальне рівняння другого порядку

 

що описує простий гармонічний осцилятор, можна переформулювати

 

Вираз в дужках може бути факторизований, що дає

 

це рівняння має пару лінійно незалежних розв'язків, один для

 

інший для

 

Розв'язки, відповідно,

 

та

 

Ці розв'язки є базисом двовимірного «простору розв'язків» диференціального рівняння другого порядку. Крім того, для

 

та

 

-останні тригонометричні розв'язки лінійно незалежні, а тому можуть слугувати іншим базисом простору розв'язків, що дає таку загальну форму розв'язку:

 

Затухаючий гармонічний осциляторРедагувати

 
схематичне подання гармонічного осцилятора із затуханням

Враховуючи рівняння затухаючого гармонічного осцилятора:

 

отримаємо спочатку характеристичне рівняння формальною заміною D на λ. Це рівняння має виконуватися для всіх у, наступним чином:

 

Розв'яжемо:

 

Використаємо ці дані для розкладу вихідного диференціального рівняння:

 

Це визначає пару рішень, з яких одне відповідає

 

а інше

 

Розв'язки, відповідно,

 

та

 

де ω = B / 2 . З цієї пари лінійно незалежних рішень можна побудувати іншу лінійно незалежну пару, що таким чином, слугуватиме базисом для двовимірного простору рішень:

 

Однак, якщо | ω | <| ω 0 |, то бажано позбутися уявних частин, виражаючи загальний розв'язок як

 

Останній розв'язок відповідає слабко затухаючому випадку, тоді як попередній відповідає сильно затухаючому разі: розв'язок для слабко загальмованого випадку коливатиметься, а для розв'язку сильно загальмованого випадку це не так.

Неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтамиРедагувати

Щоб отримати розв'язок неоднорідного рівняння , слід знайти частковий розв'язок неоднорідного рівняння або методом невизначених коефіцієнтів, або методом варіації сталих; загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння і часткового інтеграла. Якщо ж задані початкові умови, можна застосувати перетворення Лапласа для отримання конкретного розв'язку безпосередньо.

Припустимо, нам дано

 

Для подальших обчислень, виділимо характеристичний многочлен

 

Ми знайдемо базис розв'язків   як і в однорідному (F (X) = 0) випадку. Частковий розв'язок у р (х) одержимо методом варіації сталих. Нехай коефіцієнти лінійної комбінації є функціями від х:

 

Для зручності позначень будемо опускати залежність від х (тобто, частини звичного запису вигляду (х)). Використовуючи операторний запис   і вільно використовуючи позначення, дане рівняння набуде вигляду   , тож

 

З обмеженнями

 
 
 
 

параметри виносяться, після чого залишається дещо «зайве»:

 

Але   , тому

 

Це, з обмеженнями, дає лінійну система за   . ЇЇ, насправді, завжди можна розв'язати поєднуючи методи Крамера і Вронського,

 

Решта зводиться до інтегрування  

частковий розв'язок не є єдиним,   також задовольняє рівняння для будь-якого набору констант з основного поля.

ПрикладРедагувати

Покладемо,   . Ми візьмемо базис розв'язку, знайдений вище   .

   
 
 
   
 
   
 

Використовуючи список інтегралів від експоненціальних функцій,

   
 
   
 

І тому

   
 

Задля інтересу зазначимо, це рівняння має фізичний зміст, описує вимушений гармонічний осцилятор, з тертям; у р представляє стійкий стан, а   є перехідним станом.

Рівняння зі змінними коефіцієнтамиРедагувати

Лінійне диференціальне рівняння порядку n зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд

 

ПрикладиРедагувати

Простим прикладом є рівняння Коші-Ейлера, що часто використовуються в машинобудуванні

 

Рівняння першого порядкуРедагувати

Лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд

 

Тут D — диференціальний оператор. Рівняння такого виду може бути розв'язане множенням на інтегрувальний множник

 ,

що дає

 

спрощуючи за правилом добутку, дістанемо

 

Звідси інтегруванням

 
 

Отже, розв'язком лінійного диференціального рівняння першого порядку

 

з коефіцієнтами, які можуть залежати від х, є:

 

Зазначимо, що   — стала інтегрування, і

 

Компактна форма загального розв'язку

 

  — узагальнена дельта-функція Дірака.

ПрикладиРедагувати

Розглянемо диференціальне рівняння першого порядку із сталими коефіцієнтами:

 

Це рівняння має особливе значення для систем першого порядку на кшталт RC-схем (ємність-опір) і систем маса-демпфер.

В цьому випадку f(х) = b, g(х) = 1.

Тож розв'язком є

 

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

  • Лінійне диференціальне рівняння першого порядку // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 475. — 594 с.
  • [1] напівлінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki)
  • [2] квазілінійного диференціального рівняння (в диспергуючих PDE Wiki)
  • [3] повністю нелінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki)
  • http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm

ПриміткиРедагувати

ЛітератураРедагувати