Гармонічний осцилятор

Гармоні́чний осциля́тор — система (у класичній механіці), яка у разі зміщення зі стану рівноваги під дією певної сили (чи суперпозиції сил), повертається до попереднього стану під дією зворотної сили, пропорційної зміщенню (наприклад, за законом Гука у випадку з механічними коливаннями):

Гармонічний осцилятор
Зображення
Схематична ілюстрація
CMNS: Гармонічний осцилятор у Вікісховищі

де  — додатна константа, що описує жорсткість системи.

Якщо  — єдина сила, що діє на систему, то систему називають простим або консервативним гармонійним осцилятором. Вільними коливаннями такої системи, є періодичний рух навколо стану рівноваги (гармонійні коливання). Частота і амплітуда при цьому постійні, причому частота не залежить від амплітуди.

Якщо є ще й сила тертя (відбувається згасання коливань), пропорційна швидкості руху (в'язке тертя), то таку систему називають згасаючим або дисипативним осцилятором. Коли тертя не дуже велике, то система робить майже періодичний рух — синусоїдальні коливання з постійною частотою і експоненціально спадною амплітудою. Частота вільних коливань згасаючого осцилятора виявляється дещо нижче, ніж у подібного осцилятора без тертя.

Якщо осцилятор існує сам собою, то кажуть, що він робить вільні коливання. Якщо ж є зовнішня сила (що залежить від часу), то говорять, що осцилятор виконує вимушені коливання.

Також, можна дати еквівалентне означення гармонічному осцилятору — це фізичний об'єкт, еволюція якого з часом описується диференціальним рівнянням

,

де  — узагальнена координата гармонічного осцилятора,  — час,  — характерна частота гармонічного осцилятора. Дві крапки над змінною означають другу похідну за часом. Величина здійснює гармонічні коливання.

Задача про гармонічний осцилятор має центральне значення як у класичній, так і у квантовій фізиці.

Велика кількість фізичних систем поводять себе як гармонічні осцилятори у разі незначного відхилення від рівноваги. До них належать математичний маятник (з малими кутами відхилення), фізичний та торсіонний маятники, вантаж на пружині, коливання атомів у молекулах і твердих тілах. Серед прикладів, варто вирізняти електричні коливальні контури, оскільки з ними ми стикаємося у сучасному житті повсякчас — це майже всі електротехнічні прилади, з якими ми знайомі ледь не від народження (наприклад ліфти, електронні системи в автомобілях, комп'ютери, акустичні системи, кавоварки).

Гармонічний осцилятор у класичній фізиці ред.

 
Малі коливання маятника є гармонічними

Енергія, функція Лагранжа та Гамільтона ред.

Кінетична енергія гармонічного осцилятора задається виразом

 .

Потенціальна енергія гармонічного осцилятора задається виразом

 .

Відповідно, вважаючи величину   узагальненою координатою, функція Лагранжа гармонічного осцилятора записується

 .

Узагальнений імпульс

 

Функція Гамільтона

 .

Вимушені коливання ред.

Під дією зовнішньої періодичної сили із частотою, яка не обов'язково збігається із власною частотою гармонічного осцилятора, осцилятор здійснює гармонічні коливання, аплітуда яких визначається величиною зовнішньої сили і співвідношенням зовнішньої частоти й власної частоти осцилятора.

Вимушені коливання гармонічного осцилятора із частотою   під дією сили з частотою  описуються рівнянням

 ,

де   — амплітуда зовнішньої сили.

Частинний розв'язок цього рівняння, який описує вимушені коливання має вигляд

 .

Гармонічний осцитор під дією зовнішньої сили здійснює гармонічні коливання з амплітудою  . При   амплітуда вимушених коливань прямує до нескінченості. Це явище називається резонансом.


Гармонічний осцилятор із згасанням коливань ред.

При врахуванні сил тертя чи супротиву іншого роду, який призводить до дисипації енергії осцилятора й перетворенні її в тепло, рівняння гармонічного осцилятора змінюються. Зокрема дуже поширений випадок, коли сили супротиву пропорційні швидкості зміни величини  . Тоді рівняння гармонічного осцилятора набирає вигляду

 .

Такі коливання затухають із часом згідно із законом

 .

Вимушені коливання гармонічного осцилятора із згасанням ред.

При дії періодичної зовнішньої сили навіть при затуханні для осцилятора встановлюються гармонічні коливання із амплітудою, яка залежить від прикладеної сили, співвідношення частот, а також від величини затухання.

Амплітуда вимушених коливань із врахуванням затухання визначається формулою

 .

Це скінченна величина при всіх частотах зовнішньої сили.

Формули для розрахунку частот гармонічних осциляторів ред.

Математичний маятник при невеликому початковому відхиленні від вертикалі здійснює гармонічні коливання з частотою

 ,

де g — прискорення вільного падіння, l — дожина маятника.

Тіло масою m на пружині із жорсткістю k, є гармонічним осцилятором з частотою

 

Коливальний контур є гармонічним осцилятором, із частотою

 ,

де L — індуктивність, C — ємність.

Гармонічний осцилятор у квантовій механіці ред.

Детальніше див. Квантовий осцилятор.

Спектр власних значень і власні функції ред.

 
Хвильові функції перших шести станів із квантовими числами від n = 0 до 5. На осі ординат відкладена узагальнена координата

Гамільтоніан гармонічного осцилятора отримується заміною у функції Гамільтона імпульсу   на  

 .

Спектр гармонічного осцилятора знаходиться із стаціонарного рівняння Шредінгера й задається формулою

 .

Тут   — квантове число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Енергетичні рівні гармонічного осцилятора еквідистантні. Характерною особливістю гармонічного осцилятора є те, що навіть у основному стані гармонічний осцилятор має відмінну від нуля енергію

 .

Ця найнижча енергія називається енергією нульових коливань.

Власні функції гармонічного осцилятора, які відповідають квантовому числу   задаються формулами

 ,

де  , а   — поліноми Ерміта.

При парному   власні функції гармонічного осцилятора парні, при непраному — непарні. Гамільтоніан гармонічного осцилятора комутує із оператором заміни   на   (оператором парності), а тому має спільні власні функції з цим оператором.

Оператори народження та знищення ред.

Якщо визначити оператор народження

 

та оператор знищення

 ,

то

 .

Оператори народження та знищення задовільняють комутаційному співвідношенню:

 .

Власні функції гармонічного осцилятора тоді мають вигляд

 ,

або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів:

 .

Загалом дія оператора народження на гармонійний оператор у стані |n> призводить до переходу в стан |n+1>:

 .

Дія оператора знищення на стан |n> призводить до переходу в стан |n-1>:

 

Оператор

 

називають оператором числа частинок, оскільки для нього справедливе співвідношення.

 

Правила відбору ред.

При випромінюванні чи поглинанні фотона дозволеними переходами для гармонічного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. Враховуючи еквідистантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, незважаючи на нескінченне число рівнів, у спектрі оптичного поглинання чи випромінювання гармонічного осцилятора є лише одна лінія з частотою  .

У реальних коливних спектрах молекул можливі відхилення від цього правила, зумовлені ангармонічністю реального потенціалу міжатомної взаємодії, квадрупольними переходами і т. д.

Див. також ред.

Джерела ред.

  • Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.
  • Федорченко А.М. (1993). Теоретична фізика. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика. Т.2. Київ: Вища школа. , 415 с.
  • Юхновський І.Р. (2002). Основи квантової механіки. Київ: Либідь.