Відкрити головне меню

Опера́тори наро́дження та зни́щення — пара взаємно спряжених квантовомеханічних операторів, зручних для запису гамільтоніанів квантовомеханічної системи у представленні вторинного квантування.

Квантова механіка

Принцип невизначеності
Вступ[en] · Історія[en]
Математичні основи[en]

Оператори народження й знищення визначаються з певними комутаційними властивостями, різними для ферміонів та бозонів.

Оператори народження й знищення позначаються однією літерою, але до символу оператора народження додається додатковий символ спряження. Наприклад, оператору знищення відповідає оператор народження .

Зміст

ФерміониРедагувати

Для поля ферміонів вводиться особливий вакуумний стан  , який відповідає відсутності частинки. Діючи на цей нульовий вакуумний стан, оператор народження «створює» частинку з хвильовою функцією  :

 .

Відповідним чином, оператор знищення, діючи на хвильову функцію частинки  , знищує частинку, переводячи систему в стан  .

 .

Дія оператора знищення на нульовий стан дає нуль

 .

Відповідно, дія оператора народження на стан  , теж дає нуль.

 .

Оператор народження й знищення задовлільняють наступному антикомутаційному співвідношенню

 .

Оператор числа частинок задається виразом

 .

Вочевидь

 

Різні станиРедагувати

Для ферміона, який може перебувати в різних станах, оператори народження й знищення визначаються для кожного з цих станів.

Нехай у гільбертовому просторі станів ферміона заданий ортоноромований базис  . Оператори народження й знищення   і   для різних станів комутують між собою.

  при  .

Будь-який квантовомеханічний оператор   можна записати у вигляді

 ,

де

  — матричний елемент оператора.

ГамільтоніанРедагувати

Виражений через оператори народження й знищення, гамільтоніан квантовомеханічної системи, набирає особливо зручного вигляду, якщо ортогональний базис, для якого визначаються оператори народження й знищення, відповідає власним функціям певного модельного гамільтоніану  :

 .

Розбиваючи гамільтоніан на дві частини:

 ,

й переходячи до зображення операторів народження й знищення, його можна записати, як

 

БозониРедагувати

Для бозонів оператори народження й знищення вводяться аналогічно тому, як це робиться для гармонічного осцилятора.

Бозони є кватновим аналогом класичних полів, які характеризуються інтенсивністю. При переході до квантової механіки ця характеристика зберігається у вигляді числа частинок у певному стані. Для стану   можна ввести оператор кількості частинок  , виходячи із співвідношення

 .

Оператор числа частинок виражається через оператори народження й знищення аналогічно тому, як для ферміонів

 .

Нульовий (вакуумний) стан   відповідає відсутності частинок. Стан із одним бозоном утворюється із нульового стану, якщо подіяти на нього оператором народження

 .

Відповідно,  .

З огляду на те, що хвильові функції бозонів симетричні щодо перестановки частинок, оператори народження й знищення для них задовільняють комутаційним співвідношенням

 .


Для опису полів, наприклад електромагнітного поля оператори народження й знищення вводяться для кожної частоти фотона.

Гамільтоніан поля має вигляд

 ,

де   — зведена стала Планка,   — хвильовий вектор,   — частота хвилі з хвильовим вектором  . Доданок 1/2 відповідає енергії нульових коливань.


ДжерелаРедагувати

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.