Оператори народження та знищення

Опера́тори наро́дження та зни́щення — пара взаємно спряжених квантовомеханічних операторів, зручних для запису гамільтоніанів квантовомеханічної системи у представленні вторинного квантування.

Оператори народження й знищення визначаються з певними комутаційними властивостями, різними для ферміонів та бозонів.

Оператори народження й знищення позначаються однією літерою, але до символу оператора народження додається додатковий символ спряження. Наприклад, оператору знищення ${\hat {a}}\,$ відповідає оператор народження ${\hat {a}}^{\dagger }$.

Ферміони

Для поля ферміонів вводиться особливий вакуумний стан $|0\rangle$, який відповідає відсутності частинки. Діючи на цей нульовий вакуумний стан, оператор народження «створює» частинку з хвильовою функцією $\psi$:

${\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle =|\psi \rangle$.

Відповідним чином, оператор знищення, діючи на хвильову функцію частинки $|\psi \rangle$, знищує частинку, переводячи систему в стан $|0\rangle$.

${\hat {a}}|\psi \rangle =|0\rangle$.

Дія оператора знищення на нульовий стан дає нуль

${\hat {a}}|0\rangle =0$.

Відповідно, дія оператора народження на стан $|\psi \rangle$, теж дає нуль.

${\hat {a}}^{\dagger }|\psi \rangle =0$.

Оператор народження й знищення задовольняють наступному антикомутаційному співвідношенню

${\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }=1$.

Оператор числа частинок задається виразом

${\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$.

Вочевидь

${\hat {N}}|0\rangle =0;\qquad {\hat {N}}|\psi \rangle =1|\psi \rangle .$

Різні стани

Для ферміона, який може перебувати в різних станах, оператори народження й знищення визначаються для кожного з цих станів.

Нехай у гільбертовому просторі станів ферміона заданий ортоноромований базис $\psi _{n}=|n\rangle$. Оператори народження й знищення ${\hat {a}}_{n}^{\dagger }$ і ${\hat {a}}_{n}$ для різних станів комутують між собою.

${\hat {a}}_{n}^{\dagger }{\hat {a}}_{n^{\prime }}-{\hat {a}}_{n^{\prime }}{\hat {a}}_{n}^{\dagger }=0$ при $n\neq n^{\prime }$.

Будь-який квантовомеханічний оператор ${\hat {A}}$ можна записати у вигляді

${\hat {A}}=\sum _{n,n^{\prime }}A_{n,n^{\prime }}{\hat {a}}_{n}^{\dagger }{\hat {a}}_{n^{\prime }}$,

де

$A_{n,n^{\prime }}=\langle n|{\hat {A}}|n^{\prime }\rangle$ — матричний елемент оператора.

Гамільтоніан

Виражений через оператори народження й знищення, гамільтоніан квантовомеханічної системи, набирає особливо зручного вигляду, якщо ортогональний базис, для якого визначаються оператори народження й знищення, відповідає власним функціям певного модельного гамільтоніану ${\hat {H}}_{0}$:

${\hat {H}}_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$.

Розбиваючи гамільтоніан на дві частини:

${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}$,

й переходячи до зображення операторів народження й знищення, його можна записати, як

${\hat {H}}=\sum _{n}E_{n}{\hat {a}}_{n}^{\dagger }{\hat {a}}_{n}+\sum _{n,n^{\prime }}V_{n,n^{\prime }}{\hat {a}}_{n}^{\dagger }{\hat {a}}_{n^{\prime }}$

Бозони

Для бозонів оператори народження й знищення вводяться аналогічно тому, як це робиться для гармонічного осцилятора.

Бозони є квантовим аналогом класичних полів, які характеризуються інтенсивністю. При переході до квантової механіки ця характеристика зберігається у вигляді числа частинок у певному стані. Для стану $|n\rangle$ можна ввести оператор кількості частинок ${\hat {N}}$, виходячи із співвідношення

${\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle$.

Оператор числа частинок виражається через оператори народження й знищення аналогічно тому, як для ферміонів

${\hat {N}}=a^{\dagger }a$.

Нульовий (вакуумний) стан $|0\rangle$ відповідає відсутності частинок. Стан із одним бозоном утворюється із нульового стану, якщо подіяти на нього оператором народження

$a^{\dagger }|0\rangle =|1\rangle$.

Відповідно, $a|1\rangle =|0\rangle$.

З огляду на те, що хвильові функції бозонів симетричні щодо перестановки частинок, оператори народження й знищення для них задовільняють комутаційним співвідношенням

$[a,a^{\dagger }]=aa^{\dagger }-a^{\dagger }a=1$.

Для опису полів, наприклад електромагнітного поля оператори народження й знищення вводяться для кожної частоти фотона.

Гамільтоніан поля має вигляд

${\hat {H}}=\sum _{\mathbf {k} }\hbar \omega _{\mathbf {k} }\left(a_{\mathbf {k} }^{\dagger }a_{\mathbf {k} }+{\frac {1}{2}}\right)$,

де $\hbar$ — зведена стала Планка, $\mathbf {k}$ — хвильовий вектор, $\omega _{\mathbf {k} }$ — частота хвилі з хвильовим вектором $\mathbf {k}$. Доданок 1/2 відповідає енергії нульових коливань.

Джерела

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.