Вторинне квантування

Втори́нне квантува́ння — процедура переходу від класичної механіки до квантової з врахування квантовості не тільки частинок, а й полів.

При вторинному квантуванні як частинки, так і поля описуються функціями-операторами, що діють на певний нульовий стан системи, широко використовується формалізм операторів народження і знищення. Ці оператори визначені в особливому абстрактному лінійному просторі, який називається простором Фока.

Врахування квантової природи полів, зокрема електромагнітного, дозволяє, зокрема, пояснити явища спонтанного і вимушеного випромінювання, природну ширину спектральних ліній тощо.

Квантування полів

Фізичні поля, зокрема, електромагнітне поле, описуються хвильовими рівняннями. Спектр нормальних мод цих рівнянь взагалі неперервний, однак його можна дискретизувати, накладаючи періодичні граничні умови в об'ємі, розміри якого набагато перевищують розміри досліджуваних систем. Функцію Лагранжа для поля можна записати через нормальні моди у вигляді

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{k}\hbar \omega _{k}({\dot {a}}_{k}^{2}-\omega _{k}^{2}a_{k}^{2})$,

де $\omega _{k}=E_{k}/\hbar$, $\hbar$ — зведена стала Планка, $E_{k}$ — енергія нормальної моди, $a_{k}$ — амплітуда нормальної моди. Нормований власний вектор нормальної моди — $\mathbf {f} _{k}(\mathbf {r} )$.

Таким чином, функція Лагранжа зводиться до суми функцій Лагранжа окремих класичних гармонічних осциляторів. Перехід від класичних осциляторів до квантових проводиться за процедурою, описаною в статті гармонічний осцилятор. Як наслідок, гамільтоніан квантової системи набирає вигляду

${\hat {H}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left({\hat {a}}_{k}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)$.

Як і будь-який квантовий осцилятор, квантоване поле характеризується нульовими коливаннями. Стан із найнижчою енергією позначається $|0\rangle$ і називається нульовим станом. Відповідна йому енергія

$E_{0}={\frac {1}{2}}\sum _{k}\hbar \omega _{k}$.

При дії оператора народження на нульовий стан утворюється частинка з енергією $\hbar \omega _{k}$. Оскільки оператори народження і знищення таких частинок задовільняють комутаційним співвідношенням, характерним для квантового осцилятора

$[{\hat {a}}_{k},{\hat {a}}_{k^{\prime }}^{\dagger }]=\delta _{k,k^{\prime }}$,

то такі частинки є бозонами. Повторна дія оператора ${\hat {a}}_{k}^{\dagger }$ на стан ${\hat {a}}_{k}^{\dagger }|0\rangle$ дає стан із двома однаковими бозонами. Продовжуючи, можна отримати стан із будь-яким числом бозонів. Кількість бозонів у квантованому полі відповідає амплітуді класичного поля — чим сильніше поле — тим більше бозонів.

Оператор поля в просторі Фока записується в загальному випадку як суперпозиція всіх можливих станів:

${\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}\mathbf {f} _{k}(\mathbf {r} )\sum _{n_{k}}\alpha _{n_{k}}(t)({\hat {a}}_{k}^{\dagger })^{n_{k}}$,

де $\alpha _{n_{k}}(t)$ — комплексна функція, що задає амплітуду ймовірності існування n бозонів, що відповідають k-ій класичній нормальній моді.

Вторинне квантування ферміонів

Для вторинного квантування ферміонів, наприклад, електронів, потрібно перейти від опису із використанням хвильових функцій до опису з використанням відповідних функцій-операторів. Ферміони описуються хвильовими рівняннями квантової механіки, наприклад, рівнянням Дірака або рівнянням Шредінгера. Знаючи спектр відповідних гамільтоніанів та власні функції $\varphi _{n}(\mathbf {r} )$, можна записати власні хвильові функції у просторі Фока у вигляді

$\psi _{n}=\varphi _{n}(\mathbf {r} ){\hat {a}}_{n}^{\dagger }|0\rangle$,

де $a_{n}^{\dagger }$ — оператор народження відповідного стану. Загалом, будь-яка хвильова функція змішаного стану

$\psi (t,\mathbf {r} )=\sum _{n}\alpha _{n}(t)\varphi _{n}(\mathbf {r} ){\hat {a}}_{n}^{\dagger }|0\rangle$,

де $\alpha _{n}(t)$ — комплексні функції часу. У випадку стаціонарних станів $\alpha _{n}(t)=\alpha _{n0}e^{i\omega _{k}t}$

Вводячи оператор

${\hat {\psi }}(t,\mathbf {r} )=\sum _{n}\alpha _{n}(t)\varphi _{n}(\mathbf {r} ){\hat {a}}_{n}^{\dagger }$,

хвильову функцію можна записати як

$\psi (t,\mathbf {r} )={\hat {\psi }}(t,\mathbf {r} )|0\rangle$.

Оператор ${\hat {\psi }}(t,\mathbf {r} )\,$ і є способом опису квантової системи у просторі Фока.

Література

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Давидов О. С. Квантова механіка. — К. : Академперіодика, 2012. — 706 с.
• Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. — М. : Мир, 1978. — Т. 1. — 408 с.
• Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. — М. : Наука, 1986. — 320 с.
• Каданов Л., Бейм Г. Квантовая статистическая механика. — М. : Мир, 1964. — 256 с.
• Фудзита С. Введение в неравновесную квантовую статистическую механику. — М. : Мир, 1969. — 208 с.
• ван Хьеу Н. Основы метода вторичного квантования. — М. : Энергоатомиздат, 1984. — 208 с.