Рівняння Дірака

Рівня́ння Дірака — релятивістсько-інваріантне рівняння руху для біспінорного класичного поля електрона, застосовне також для опису інших точкових ферміонів зі спіном 1/2. Його вперше записав Поль Дірак у 1928.

Рівняння Дірака
Названо на честь	Поль Дірак
Похідна робота	Dirac equation in curved spacetimed
Першовідкривач або винахідник	Поль Дірак
Формула	$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=(c{\hat {\boldsymbol {\alpha }}}\cdot {\hat {\boldsymbol {p}}}+mc^{2}{\hat {\beta }})\Psi$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

Рівняння Дірака призвело до пояснення напівцілого спіну електрона та до відкриття античастинок, якими для електрона є позитрони. Частинку зі спіном 1/2 описує нерелятивістське рівняння Паулі, до якого зводиться рівняння Дірака при малих енергіях.

Вигляд рівняння

Рівняння Дірака записується в вигляді

$\left(mc^{2}\alpha _{0}+c\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}{\hat {p}}_{j}\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)$

де $m\$ — маса електрона (або іншого ферміона, що описується рівнянням), $c\$ — швидкість світла, ${\hat {p}}_{j}=-i\hbar \partial _{j}=-{\bar {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$ — три оператори компонент імпульсу (x, y, z), $\hbar ={h \over 2\pi }$, $h$ — стала Планка, x=(x, y, z) і t просторові координати і час, відповідно, та $\psi (\mathbf {x} ,t)$ — чотирикомпонентна комплексна хвильова функція (біспінор).

$\psi (\mathbf {x} ,t)=\left({\begin{matrix}\psi _{1}(\mathbf {x} ,t)\\\psi _{2}(\mathbf {x} ,t)\\\psi _{3}(\mathbf {x} ,t)\\\psi _{4}(\mathbf {x} ,t)\end{matrix}}\right)$

$\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\$ — лінійні оператори над простором біспінорів, які діють на хвильову функцію. Ці оператори підібрані таки чином, що кожна пара таких операторів антикомутує, а квадрат кожного дорівнює одиниці:

$\alpha _{i}\alpha _{j}=-\alpha _{j}\alpha _{i}\$, де $i\neq j$ і індекси $i,j\$ змінюються від 0 до 3,

$\alpha _{i}^{2}=1$ для $i\$ від 0 до 3.

У даному представленні ці оператори є матрицями розміру 4×4 (це мінімальний розмір матриць, для яких виконуються умови антикомутації) і називаються альфа-матрицями Дірака

Весь оператор в дужках в лівій частині рівняння називається оператором Дірака, точніше, в сучасній термінології його слід називати гамільтоніаном Дірака, оскільки оператором Дірака зазвичай називають коваріантний оператор D, з яким рівняння Дірака записується у вигляді DΨ=0 (як описано в наступному зауваженні).

У сучасній фізиці часто використовується коваріантна форма запису рівняння Дірака (детальніше див. нижче):

$\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }\,\partial _{\mu }-mc^{2}\right)\psi =0$

Побудова рівняння Дірака

Рівняння Дірака — релятивістське узагальнення рівняння Шредінгера:

${\hat {H}}\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {d \over dt}\left|\psi (t)\right\rangle .$

Для зручності будемо працювати в координатному представленні, в якому стан системи задається хвильовою функцією ψ(x,t). В цьому представленні рівняння Шредінгера записується у вигляді

${\hat {H}}\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}},$

де гамільтоніан ${\hat {H}}$ тепер діє на хвильову функцію.

Гамільтоніан потрібно визначити так, щоб він описував повну енергію системи. Для нерелятивістського вільного електрона (який ні з чим не взаємодіє, ізольований від усіх сторонніх полів) гамільтоніан має вигляд аналогічний кінетичній енергії в класичній механіці (якщо не брати до уваги ні релятивістських поправок, ні спіну):

${\hat {H}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {{\hat {p}}_{j}^{2}}{2m}},$

де p_j — оператори проєкцій імпульсу, де індекс j =1,2,3 означає декартові координати. Кожен такий оператор діє на хвильову функцію як просторова похідна:

${\hat {p}}_{j}\psi (\mathbf {x} ,t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -i\hbar \,{\frac {\partial \psi (\mathbf {x} ,t)}{\partial x_{j}}}.$

Щоб описати релятивістську частинку, потрібно знайти інший гамільтоніан. При цьому є підґрунтя вважати, що оператор імпульсу зберігає щойно наведене визначення. Відповідно до релятивістського співвідношення повну енергію системи можна виразити як

$E={\sqrt {(mc^{2})^{2}+\sum _{j=1}^{3}(p_{j}c)^{2}}}.$

Це приводить до виразу

${\sqrt {(mc^{2})^{2}+\sum _{j=1}^{3}(p_{j}c)^{2}}}\ \psi =i\hbar {\frac {d\psi }{dt}}.$

Це не зовсім задовільне рівняння, оскільки не видно явної лоренц-коваріантності (яка виражає формальне рівноправ'я часу і просторових координат, що є одним з наріжних каменів спеціальної теорії відносності), а крім того — написаний корінь з оператора не виписаний явно. Однак, піднесення до квадрату лівої та правої частин приводить до явно лоренц-коваріантного рівняння Клейна — Ґордона. Дірак запропонував, що оскільки права частина рівняння містить першу похідну по часу, то і ліва частина повинна мати тільки похідні першого порядку по просторових координатах (інакше кажучи — оператори імпульсу в першій степені). Тоді, приймаючи, що коефіцієнти перед похідними, яку б природу вони не мали, — постійні (внаслідок однорідності простору), залишається тільки записати:

$i\hbar {\frac {d\psi }{dt}}=\left[c\sum _{i=1}^{3}\alpha _{i}p_{i}+\alpha _{0}mc^{2}\right]\psi$

— це і є рівняння Дірака (для вільної частинки).

Однак коефіцієнти $\alpha _{i}\$ ще не визначені. Якщо припущення Дірака правильне, то права частина, піднесена до квадрату, повинна дати

$(mc^{2})^{2}+\sum _{j=1}^{3}(p_{j}c)^{2}$

тобто

$\left(mc^{2}\alpha _{0}+c\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,\right)^{2}=(mc^{2})^{2}+\sum _{j=1}^{3}(p_{j}c)^{2}.$

Розкриваючи дужки в лівій частині отриманого рівняння, можна знайти умови на α:

$\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0\,,$ для всіх $i,j=0,1,2,3(i\neq j),$

$\alpha _{i}^{2}=1\,,$ для всіх $i=0,1,2,3.\$

або, скорочено записавши все разом:

$\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=2\delta _{ij}\$ для $\ i,j=0,1,2,3,$

або, ще коротше, користуючись фігурними дужками для позначення антикомутаторів:

$\left\{\alpha _{i},\alpha _{j}\right\}=2\delta _{ij}\$ для $\ i,j=0,1,2,3.$

де {,} — антикомутатор, що визначається як {A,B}≡AB+BA,і δ_ij — символ Кронекера, який приймає значення 1 якщо два індекси рівні, а в протилежному випадку — 0. Див. алгебра Кліфорда.

Оскільки такі співвідношення не можуть виконуватись для звичайних чисел (адже числа комутують, а α — ні), залишається припустити, що α — це деякі лінійні оператори або матриці (тоді одиниці й нулі в правій частині співвідношень можна вважати відповідно одиничним і нульовим оператором або матрицею) і можна намагатися знайти конкретний набір α, скориставшись даними співвідношеннями (і це вдається).

Стає зрозуміло, що хвильова функція повинна бути не однокомпонентною (тобто не скалярною), а векторною, маючи на увазі вектори якогось абстрактного «внутрішнього» простору, не пов'язаного прямо зі звичайним фізичним простором або простором-часом.

Матриці повинні бути ермітові, так щоб гамільтоніан теж був ермітовим оператором. Найменша розмірність матриць, що задовольняють вказаним критеріям, чотири, тобто це комплексні матриці 4×4, хоча конкретний вибір матриць (або представлення) не є однозначним. Ці матриці утворюють групу, в якій групова операція - матричне множення. Хоча вибір представлення цієї групи не впливає на властивості рівняння Дірака, він впливає на фізичний зміст компонент хвильової функції. Хвильова функція в такому разі повинна бути чотиривимірним комплексним абстрактним (не пов'язаним прямо з векторами звичайного простору-часу) біспінорним полем.

У вступі було наведено представлення, яке використовував Дірак. Це представлення можна правильно записати як

$\alpha _{0}={\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix}}\quad \alpha _{j}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{j}\\\sigma _{j}&0\end{bmatrix}}$

де 0 і I — 2×2 нульова і одинична матриці відповідно, і σ_j (j = 1, 2, 3) — матриці Паулі, що є матричним представленням кватерніонів, про які давно відомо, що вони антикомутують.

Гамільтоніан в цьому рівняння

${\hat {H}}=\,mc^{2}\alpha _{0}+c\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,$

назавається гамільтоніаном Дірака.

Для звичайного рівняння Дірака в двовимірному просторі або в тривимірному, але з m=0, замість альфа-матриць достатньо лише матриць Паулі; замість чотирикомпонентного біспінорного поля при цьому роль хвильової функції буде виконувати двокомпонентне спінорне.

Релятивістсько-коваріантна форма

Коваріантний запис рівняння Дірака для вільної частинки має такий вигляд:

$\left(i\hbar c\,\sum _{\mu =0}^{3}\;\gamma ^{\mu }\,\partial _{\mu }-mc^{2}\right)\psi =0,$

або, використовуючи правило Ейнштейна сумування по індексах, що повторюються, так:

$\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }\,\partial _{\mu }-mc^{2}\right)\psi =0.$

Пояснення

Часто корисно буває користуватись рівнянням Дірака в релятивістсько-коваріантній формі, в якій просторові та часові координати формально рівноправні.

Оператор імпульсу ${\hat {p}}$ діє як просторова похідна:

$\mathbf {p} \psi (\mathbf {x} ,t)=-i\hbar \nabla \psi (\mathbf {x} ,t).$

Множачи рівняння Дірака з кожного боку на α₀ (згадуючи що α₀²=I) і підставляючи його у визначення для ${\hat {p}}$, рівняння Дірака набирає вигляду

$\left[i\hbar c\left(\alpha _{0}{\frac {\partial }{c\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{0}\alpha _{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)-mc^{2}\right]\psi =0.$

Чотири гамма матриці визначаються як:

$\gamma ^{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha _{0}\,,\quad \gamma ^{j}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha _{0}\alpha _{j}.$

Ці матриці мають властивісь, що

$\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }\cdot I\,,\quad \mu ,\nu =0,1,2,3$

де η метрика плоского простору. Ці співвідношення визначають алгебру Кліфорда, що називається алгеброю Дірака.

Рівняння Дірака тепер можна записати, використовуючи чотири-вектор x = (ct,x), як

$\left(i\hbar c\,\sum _{\mu =0}^{3}\;\gamma ^{\mu }\,\partial _{\mu }-mc^{2}\right)\psi =0.$

У цій формі рівняння Дірака можна отримати з допомогою знаходження екстремуму дії

${\mathcal {S}}=\int {\bar {\psi }}(i\hbar c\,\sum _{\mu }\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc^{2})\psi \,d^{4}x$

де

${\bar {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma _{0}$

називається приєднаною матрицею Дірака для ψ. Це основа для використання рівняння Дірака в квантовій теорії поля.

В цій формі електромагнітну взаємодію можна просто додати розширивши частинну похідну до калібрувальної похідної:

$\partial _{\mu }\rightarrow D_{\mu }=\partial _{\mu }-ieA_{\mu }.$

Запис з використанням «Feynman slash»

Інколи використовується запис з використанням «перекреслених матриць» («Feynman slash»). Прийнявши позначення

$a\!\!\!/\leftrightarrow \sum _{\mu }\gamma ^{\mu }a_{\mu }$,

бачимо, що рівняння Дірака можна записати як

$(i\hbar c\,\partial \!\!\!/-mc^{2})\psi =0$

і вираз для дії записується у вигляді

${\mathcal {S}}=\int {\bar {\psi }}(i\hbar c\,\partial \!\!\!/-mc^{2})\psi \,d^{4}x.$

Діраківські білінійні форми

Є п'ять різних (нейтральних) діраковських білінійних форм без похідних:

• (S) скаляр: ${\bar {\psi }}\psi$ (скаляр, P-парний)
• (P) псевдоскаляр: ${\bar {\psi }}\gamma ^{5}\psi$ (скаляр, P-непарний)
• (V) Вектор: ${\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$ (вектор, P-парний)
• (A) аксіальний вектор: ${\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi$ (вектор, P-непарний)
• (T) тензор: ${\bar {\psi }}\sigma ^{\mu \nu }\psi$ (антисиметричний тензор)

де $\sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]_{-}$ і $\gamma ^{5}=\gamma _{5}={\frac {i}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \rho \lambda }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\lambda }=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$.

Розв'язки

Характерною особливістю рівняння Дірака є те, що для вільної частинки воно має 4 розв'язки, які інтерпретуються як

• електрон зі спіном 1/2;
• електрон зі спіном -1/2;
• позитрон зі спіном 1/2;
• позитрон зі спіном -1/2;

Див. також

• Zitterbewegung
• Рівняння Клейна — Ґордона
• Теорема Атії — Зінгера про індекс
• Спінор
• Ферміон Дірака

Посилання

Лекції з квантової фізики

Література

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
• Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — М. : Наука, 1978. — Т. 1. — 296 с.
• Дайсон Ф. Релятивистская квантовая механика. — Ижевск : РХД, 2009. — 248 с.
• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М. : Наука, 1979. — 440 с.
• Дирак П. А. М. Релятивистское волновое уравнение электрона // Успехи физических наук. — 1979. — Т. 129, вып. 4. — С. 681-691.
• Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск : РХД, 2009. — 632 с.
• Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск : РХД, 2001. — 784 с.
• Шифф Л. Квантовая механика. — М. : ИЛ, 1957. — 476 с.
• Shankar R. Principles of Quantum Mechanics. — Plenum, 1994.
• Thaller B. The Dirac Equation. — Springer, 1992.
• Рівняння Дірака в «Фізичній енциклопедії»