Спінор

Спінор — двокомпонентна математична конструкція, за допомогою якої описуються частинки з напівцілим спіном.

На відміну від скаляра, спінор має дві компоненти, одна з яких відповідає спіну 1/2, а інша спіну -1/2. Вони позначаються $\psi ^{1}\,$ та $\psi ^{2}\,$ і записуються в стовпчик

$\psi =\left({\begin{matrix}\psi ^{1}\\\psi ^{2}\end{matrix}}\right)$

Конструкція $\psi \,$ називається спінором.

При повороті системи координат компоненти спінора зв'язані лінійним співвідношенням

$\psi ^{1\prime }=a\psi ^{1}+b\psi ^{2},\qquad \psi ^{2\prime }=c\psi ^{1}+d\psi ^{2}\qquad$

або

$\psi ={\hat {U}}\psi ,\qquad {\hat {U}}=\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)$.

${\hat {U}}$ — матриця перетворення, а її елементи a, b, c, d — комплексні числа.

Білінійна форма $\psi ^{1}\varphi ^{2}-\psi ^{2}\varphi ^{1}$, де $\psi \,$ та $\varphi$ — два спінори, що перетворюються при повороті системи координат як:

$\psi ^{1\prime }\varphi ^{2\prime }-\psi ^{2\prime }\varphi ^{1\prime }=(ad-bc)(\psi ^{1}\varphi ^{2}-\psi ^{2}\varphi ^{1})$,

тобто ця форма перетворюється сама в себе. Отже, детермінант матриці перетворення повинен дорівнювати одиниці

$\det {\hat {U}}=ad-bc=1$.

Додаткові умови на елементи матриці перетворення є наслідком того, що вираз

$\psi ^{1*}\psi ^{1}+\psi ^{2*}\psi ^{2}\,$

задає ймовірність перебування частинки в точці простору, тож повинна бути скаляром. Отже, перетворення ${\hat {U}}$ повинно бути унітарним. Тоді

$a=d^{*},\qquad b=-c^{*}$.

Враховуючи всі ці співвідношення, серед чотирьох комплексних чисел a, b, c, d всього три незалежні дійсні змінні, якраз стільки, щоб ними можна було описати поворот в тривимірному просторі.

В релятивістській квантовій механіці, де окрім просторових поворотів враховуються також перетворення Лоренца використовуються складніші чотирикомпонентні конструкції — біспінори.

Поворот навколо осі z

При повороті навколо осі z на кут $\phi$ матриця перетворення задається формулою

${\hat {U}}=e^{iS_{z}\phi /\hbar }$,

де $S_{z}={\frac {1}{2}}\hbar \sigma _{z}$ — z-ва складова оператора спіну, $\sigma _{z}$ — матриця Паулі, $\hbar$ — зведена стала Планка, $\phi \,$ — кут повороту.

При дії цієї матриці на стан із спіном +1/2

${\hat {U}}\left({\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right)=e^{i\phi /2}\left({\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right)$

Таким чином при повороті на кут $2\pi$ спінор міняє свій знак.

Див. також

• Рівняння Дірака
• Теорема Атії — Зінгера про індекс
• Ферміон Дірака

Джерела

• Юхновський І.Р. (2002). Основи квантової механіки. Київ: Либідь.

• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІІ. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Москва: Наука.