Матриці Паулі

Матриці Паулі — три $2\times 2$ матриці — оператори спіну для часток зі спіном 1/2.

$\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$

$\sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Властивості

Матриці Паулі — ермітові оператори.

Квадрат будь-якої із них є одиничною матрицею.

Слід будь-якої із матриць Паулі дорівнює нулю.

Комутаційні співвідношення

Комутаційні співвідношення для матриць Паулі схожі на комутаційні співвідношення для оператора кутового моменту

$[\sigma _{x},\sigma _{y}]=2i\sigma _{z}$

$[\sigma _{y},\sigma _{z}]=2i\sigma _{x}$

$[\sigma _{z},\sigma _{x}]=2i\sigma _{y}$

Власні значення і власні вектори

Найважливішим для практичного застосування є оператор $\sigma _{z}$. Його власні значення $\pm 1$, а власні вектори

${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ та ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$.

Матриця

${\hat {\sigma }}_{+}={\frac {1}{2}}({\hat {\sigma }}_{x}+i{\hat {\sigma }}_{y})$

має ту властивість, що

${\hat {\sigma }}_{+}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=0,\qquad {\hat {\sigma }}_{+}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

тобто вона перетворює один власний вектор у інший. Аналогічно, матриця

${\hat {\sigma }}_{-}={\frac {1}{2}}({\hat {\sigma }}_{x}-i{\hat {\sigma }}_{y})$

має ту властивість, що

${\hat {\sigma }}_{-}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=0,\qquad {\hat {\sigma }}_{-}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

Фізичний сенс цих операторів — перевертання спіна.

Внесок у гамільтоніан

Із врахуванням взаємодії квантовомеханічної частинки зі спіном 1/2 із магнітним полем гамільтоніан для частинки записується у вигляді

${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+g\mu _{B}{\hat {\mathbf {\sigma } }}\cdot \mathbf {B}$,

де g — g-фактор Ланде, $\mu _{B}$ — магнетон Бора, $\mathbf {B}$ — вектор магнітної індукції, ${\hat {H}}_{0}$ — та частина гамільтоніана, яка не залежить від магнітного поля.

Якщо вибрати систему координат таким чином, щоб магнітне поле було направлене вздовж осі z, то гамільтоніан матиме вигляд

${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+g\mu _{B}{\hat {\sigma _{z}}}B$.

У такому випадку гамільтоніан частинки комутує із оператором $\sigma _{z}$ і матиме з ним спільні власні вектори. Тоді в магнітному полі енергетичні рівні частинки зі спіном 1/2 розщеплюватимуться на два з енергією $E_{n0}\pm g\mu _{B}H$, де $E_{n0}$ — це вклад у енергію, зумовлений іншими, не залежними від магнітного поля, взаємодіями.