Оператор кутового моменту

Опера́тор моме́нту кі́лькості ру́ху або кутового моменту — це квантово-механічний аналог класичного поняття моменту кількості руху.

"Векторні конуси" загального кутового моменту J (фіолетовий), орбіти L (синій) та спіна S(зелений). Конуси виникають через квантову невизначеність між вимірюванням компонентів кутового моменту (see below).
У цій стоячій хвилі на круговій струні коло розбивається рівно на 8 довжин хвилі. Така стояча хвиля може мати 0, 1, 2 або будь-яке ціле число довжин хвиль по колу, але вона не може мати неціле число довжин хвиль, таких як 8.3. У квантовій механіці кутовий момент квантується з подібної причини.
Ілюстрація векторної моделі орбітального кутового моменту.
Різні типи оператори обертання. У верхній рамці зображено дві частинки, зі спіновими станами, схематично позначеними стрілками.
  1. Оператор R, пов'язаний з J, обертає всю систему.
  2. Оператор Rпросторовий, пов'язаний з L, обертає положення частинок, не змінюючи їх внутрішніх спінових станів.
  3. Оператор Rвнутрішній, пов'язаний з S, обертає внутрішні спінові стани частинок, не змінюючи їх положення.

Побудова і означення

ред.

Для побудови квантово-механічного оператора кутового моменту частки виходять із класичного виразу

 ,

де   — радіус вектор частки, а   — її імпульс. При переході до квантової механіки проводять заміну імпульсу на квантовомеханічий оператор імпульсу  . Тоді компоненти оператора кількості руху мають наступну форму

 ,
 ,
 .

Визначені таким чином оператори є ермітовими.

Комутаційні співвідношення

ред.

Компоненти оператора кутового моменту задовільняють наступним комутаційним співвідношенням

 ,
 ,
 .

Оскільки вони не комутують між собою, то згідно із принципом невизначеності не можуть бути виміряні одночасно. Якщо відоме точне значення одного з них, то невизначеність двох інших буде абсолютною.

Власні функції та власні значення

ред.

З огляду на некомутативність компонент, вони не мають спільних власних функцій. В сферичній системі координат найпростіший вигляд має компонента  , тож здебільшого шукають її власні функції.

Власними функціями компоненти   є комплексні експоненти виду   , де m — ціле число, яке пробігає значення від   до  .

 .

Власні значення оператора   дорівнюють  . Число m називається магнітним квантовим числом. Така назва зумовлена тим, що вперше магнітне квантове число ввели для інтерпретації розщеплення спектральних ліній у магнітному полі (Зееманівське розщеплення).

Оператор квадрата кутового моменту

ред.

Важливе значення у квантовій механіці посідає оператор квадрата кутового моменту

 .

В сферичні системі координат він має вигляд

 .

Цей оператор комутує з будь-якою з компонент оператора кутового моменту.

Власні функції та власні значення оператора квадрата кутового моменту

ред.

Завдяки комутативності оператора квадрата кутового моменту   із  , ці два оператори мають спільну систему власних функцій. Квадрат кутового моменту може бути визначеними одночасно із z-вою компонентою.

Власними функціями оператора квадрата кутового моменту є сферичні гармоніки  .

Власні значення оператора квадрата кутового моменту дорівнюють  , де l — ціле число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Це квантове число називається орбітальним квантовим числом.

 .

Із теорії сферичних гармонік відомо, що магнітне квантове число m за абсолютною величиною не може бути більшим за l. Тому кожному орбітальному квантовому числу l відповідає 2l+1 різних магнітних квантових числа: m = -l, -l+1…l-1, l.

Див. також

ред.

Джерела

ред.
  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
  • Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М. : Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М. : Наука, 1976. — 664 с.
  • Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М. : Мир, 1990. — 720 с.
  • Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л. : Наука, 1975. — 441 с.
  • Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М. : Мир, 1993. — 352 с.