Сферична система координат

Сферичними координатами називають систему координат для відображення геометричних властивостей фігури в трьох вимірах за допомогою задання трьох координат , де  — відстань до початку координат, а і  — зенітний та азимутальний кути відповідно.

Точка P має три декартові й три сферичні координати

Поняття зеніту і азимута

ред.

Поняття зеніт і азимут широко використовують в астрономії. Взагалі зеніт — це напрямок вертикального підйому над довільно обраним пунктом (точкою спостереження), що належить до так званої фундаментальної площини(інші мови). За фундаментальну площину в астрономії можуть обирати площину, в якій лежить екватор, площину, в якій лежить горизонт, площину екліптики тощо, що породжує різні системи небесних координат. Азимут — кут між довільно обраним променем фундаментальної площини з початком в точці спостереження та іншим променем цій площині, які мають загальний початок з першим.

На наведеному рисунку сферичної системи координат, фундаментальна площина — це площина xy. Зеніт — якась віддалена точка, що лежить на осі Z і видима з початку координат. Азимут відраховують від осі X до проєкції радіус-вектора r на площину xy. Це пояснює назви кутів, як і те, що сферична система координат може слугувати узагальненням (нехай хоча б і наближеним) безлічі різновидів систем небесних координат.

Визначення

ред.

Три координати   визначені як:

  •   — відстань від початку координат до заданої точки  .
  •   — кут між віссю   і відрізком, що з'єднує початок системи координат і точку  .
  •   — кут між віссю   і проєкцією відрізку, що з'єднує початок координат з точкою  , на площині  .

Кут   називають зенітним, або полярним, або нормальним, англ. colatitude, а кут   — азимутальним. Кути   і   не мають значення при  , а   не має значення при   (тобто при   або  ).

Залежно чи незалежно від стандарту (ISO 31-11(інші мови)), існує і така угода щодо позначень, коли замість зенітного кута  , використовують кут між проєкцією радіус-вектора точки r на площину xy і самим радіус-вектором r, що дорівнює   —  . Його називають кутом підйому і можуть позначувати тією ж буквою  . В цьому випадку він змінюватиметься в межах  .

Тоді кути   і   не мають значення при  , так само як і в першому випадку, а   не має значення при  , так само як і в попередньому випадку, (але вже при   або  ).

Перехід до інших систем координат

ред.
  • Декартова система координат
    • Від сферичних до декартових:
       
    • Від декартових до сферичних:
       
      • (тут, звісно, потрібне уточнення для значень   поза першим квадрантом; те ж саме для всіх формул з арктангенсом тут і нижче; однак, заміна відповідною формулою з арккосинусом знімає це питання по відношення до координати  ).
    • Модуль якобіана перетворення від сферичних до декартових координат:
       
  • Циліндрична система координат
    • Від сферичних до циліндричних:
       
    • Від циліндричних до сферичних:
       
    • Модуль якобіану перетворення від сферичних до циліндричних координат:
       

Диференціальні характеристики

ред.

Сферичні координати ортогональні, тому метричний тензор набуває діагонального вигляду:

 
  •  
  • Квадрат диференціала довжини дуги:
 
 
 
 
 

Інші дорівнюють нулю.

Див. також

ред.

Джерела

ред.

Посилання

ред.