Відкрити головне меню

Обернені тригонометричні функції

(Перенаправлено з Арктангенс)

Обернені тригонометричні функції (аркфункції) — математичні функції, що є оберненими до тригонометричних функцій.

До обернених тригонометричних функцій відносять 6 функцій:

  • аркси́нус (arcsin)
  • аркко́синус (arccos)
  • аркта́нгенс (arctg; в іноземній літературі arctan)
  • арккота́нгенс (arcctg; в іноземній літературі arccot чи arccotan)
  • арксе́канс (arcsec)
  • арккосе́канс (arccosec; в іноземній літературі arccsc)

Назва оберненої тригонометричної функції утворюється від назви тригонометриної функції за допомогою префікса «арк-» (від лат. arc — дуга). Це тому, що геометрично значення оберненої тригонометричної функції рівне дузі одиничного кола (чи кутові, що стягує цю дугу), яка опирається на заданий відрізок.

Основні властивостіРедагувати

Головні значенняРедагувати

Оскільки жодна із тригонометричних функції не є однозначною, вони мають обмеження для того, щоб мати обернені функції. Тому області значень обернених функцій є відповідними підмножинами області визначення початкових функцій.

Функцію y = arcsin(x) можна визначити як таку, що sin(y) = x. Для даного дійсного числа x, в діапазоні −1 ≤ x ≤ 1, існує декілька (на справді, нескінченно багато) чисел y, таких що sin(y) = x; наприклад, sin(0) = 0, але і sin(π) = 0, sin(2π) = 0, і так далі. Якщо необхідно отримати лише одне значення, функцію можна обмежити до її головної області. Із таким обмеженням, для кожного x вираз arcsin(x) буде обчислювати лише одне значення, яке називається головним значенням[en]. Ці властивості застосовується до всіх обернених тригонометричних функцій.

Головні області значень зворотніх функцій наведені у таблиці.

Назва Позначення Визначення Можливі дійсні значення аргументу функції
Область значень
(радіани)
Область значень
(градуси)
арксинус y = arcsin x x = sin y −1 ≤ x ≤ 1 −π/2 ≤ y ≤ π/2 −90° ≤ y ≤ 90°
арккосинус y = arccos x x = cos y −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0° ≤ y ≤ 180°
арктангенс y = arctg x x = tg y всі дійсні числа −π/2 < y < π/2 −90° < y < 90°
арккотангенс y = arcctg x x = ctg y всі дійсні числа 0 < y < π 0° < y < 180°
арксеканс y = arcsec x x = sec y x ≤ −1 or 1 ≤ x 0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π 0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°
арккосеканс y = arccosec x x = cosec y x ≤ −1 or 1 ≤ x −π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2 -90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°

Основні відношенняРедагувати

 
Головні значення функцій arcsin(x) та arccos(x).
 
Головні значення функцій arcsec(x) та arccsc(x).

Доповнювальний кут:

 
 
 

від'ємний аргумент:

 
 
 
 
 
 

Обернений аргумент:

 
 
 
 
 
 
 
 

Якщо наявна тільки частина таблиці для sine:

 
 

Із формули половинного кута  , отримаємо:

 
 
 

Відношення між оберненими тригонометричними та тригонометричними функціямиРедагувати

Тригонометричні функції, аргументом яких є зворотні тригонометричні функції, приведені в таблиці нижче. Їх можна швидко вивести із геометрії правильного трикутника, одна із сторін якого має довжину 1, а інша сторона має довжину x (будь-яке дійсне число що приймає значення від 0 до 1), і застосувавши Теорему Піфагора і визначення тригонометричних співвідношень.

        Діаграми
         
         
         
         
         
         

Диференціювання тригонометричних функційРедагувати

Похідна для дійсних та комплексних значень x:

 

Тільки для дійсних значень x:

 

Приклад знаходження похідної: нехай  , отримаємо:

 

ЗастосуванняРедагувати

Знаходження кутів прямокутного трикутникаРедагувати

 
Прямокутний трикутник: a - протилежний катет, b - прилеглий катет і h- гіпотенуза.

Обернені тригонометричні функції є корисними, коли необхідно визначити два не прямі кути прямокутного трикутника при відомих довжинах сторін трикутника. Якщо для прямокутного трикутника згадати визначення синуса, наприклад, буде отримане наступне

 

Часто, гіпотенуза є не відомою і перед застосуванням функцій арксинуса або арккосинуса її необхідно розрахувати використовуючи теорему Піфагора:   де   це довжина гіпотенузи. Арктангенс стає корисним в такій ситуації, оскільки довжина гіпотенузи не є необхідною.

 

Наприклад, допустимо дах має висоту в 8 метрів і просувається в довжину на 20 метрів. Дах утворює кут θ із горизонталлю, де θ можна розрахувати наступним чином:

 

У комп'ютерній науці і інженеріїРедагувати

Варіант арктангенсу з двома аргументамиРедагувати

Функція з двома аргументами atan2[en] розраховує арктангенс y / x для заданих y і x, але в діапазоні (−ππ]. Іншими словами, atan2(yx) повертає кут між додатною частиною осі x на площині і точкою (xy) на ній, і повертає додані значення для кутів проти годинникової стрілки (верхній півплощині, y > 0), і від'ємні значення для кутів за годинниковою стрілкою (нижньої півплощини, y < 0). Вперше така функція з'явилася в комп'ютерних мовах програмування, але зараз вона є відомою і в інших областях науки і інженерії.

Через стандартну функцію arctan, у діапазоні (−π2, π2), її можна задати наступним чином:

 

Це також дорівнює головному значенню[en] аргумента[en] комплексного числа x + iy.

Цю функцію також можна визначити із використанням формули тангенса половинного кута[en] наступним чином:

 

за умови, що x > 0 або y ≠ 0. Однак, значення буде не коректним якщо x ≤ 0 і y = 0 тому такий вираз не є корисним для розрахунків.

Вищезгаданий порядок аргументів (y, x) є найбільш загальним, і зокрема використовується в ISO стандартах що застосовуються, наприклад в мові програмування C, але деякі автори можуть використовувати порядок навпаки (x, y), тому потрібно приділяти увагу.

Числова точністьРедагувати

Для кутів близькими за значенням до 0 і π, arccosine є погано обумовленим і тому обчислення кута буде відбуватися із зменшеною точністю при реалізації на комп'ютері (через обмежену кількість розрядів).[1] Аналогічно, arcsine є неточним для кутів близьких до −π/2 and π/2.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Аркфункція: від А до Я / О. С. Істер. — Вид. 2-ге. — Тернопіль : Навч. кн.—Богдан, 2012. — 175 с. : іл., табл. ; 20 см. — (Бібліотечка фізико-математичної школи, ISBN 978-966-10-0742-9). — ISBN 978-966-10-2985-8

ПриміткиРедагувати

  1. Gade, Kenneth (2010). A non-singular horizontal position representation (PDF). The Journal of Navigation (Cambridge University Press) 63 (3): 395–417. doi:10.1017/S0373463309990415.