Обернені гіперболічні функції — визначаються як обернені функції до гіперболічних функцій . Ці функції визначають площу сектора одиничної гіперболи x 2 − y 2 = 1обернені тригонометричні функції визначають довжину дуги одиничного кола x 2 + y 2 = 1arc є скороченням від arcus — дуга, тоді як префікс ar означає area — площа. Тож правильними є позначення arsinh, arsh і т.д. і назви гіперболічний ареасинус , гіперболічний ареакосинус і т.д.
Визначення функцій
ред.
Гіперболічний ареасинус для дійсного аргумента Гіперболічний ареакосинус для дійсного аргумента Гіперболічний ареатангенс для дійсного аргумента Гіперболічний ареакотангенс для дійсного аргумента Гіперболічний ареасеканс для дійсного аргумента Гіперболічний ареакосеканс для дійсного аргумента В комплексній площині функції можна визначити формулами:
arsh
z
=
ln
(
z
+
z
2
+
1
)
,
{\displaystyle \operatorname {arsh} \,z=\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\right),}
Гіперболічний ареакосинус
arch
z
=
ln
(
z
+
z
+
1
z
−
1
)
,
{\displaystyle \operatorname {arch} \,z=\ln(z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,),}
Гіперболічний ареатангенс
arth
z
=
1
2
ln
(
1
+
z
1
−
z
)
.
{\displaystyle \operatorname {arth} \,z={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+z}{1-z}}\right).}
Гіперболічний ареакотангенс
arcth
z
=
1
2
ln
(
z
+
1
z
−
1
)
.
{\displaystyle \operatorname {arcth} \,z={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {z+1}{z-1}}\right).}
arsch
z
=
ln
(
1
z
+
1
z
2
+
1
)
,
{\displaystyle \operatorname {arsch} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right),}
Гіперболічний ареакосеканс
arcsch
z
=
ln
(
1
z
+
1
z
+
1
1
z
−
1
)
.
{\displaystyle \operatorname {arcsch} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\,\right).}
Квадратними коренями в цих формулах є головні значення квадратного кореня і логарифмічні функції є функціями комплексної змінної. Для дійсних аргументів можна здійснити деякі спрощення, наприклад
x
+
1
x
−
1
=
x
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1}}}
Розклад в ряди
ред.
Обернені гіперболічні функції можна розкласти в ряди :
arsh
x
=
x
−
(
1
2
)
x
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}
arch
x
=
ln
2
x
−
(
(
1
2
)
x
−
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
6
6
+
⋯
)
=
ln
2
x
−
∑
n
=
1
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
2
n
(
2
n
)
,
x
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arch} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1\end{aligned}}}
arth
x
=
x
+
x
3
3
+
x
5
5
+
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arth} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}
arcsch
x
=
arsh
1
x
=
x
−
1
−
(
1
2
)
x
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}
arsch
x
=
arch
1
x
=
ln
2
x
−
(
(
1
2
)
x
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
6
6
+
⋯
)
=
ln
2
x
−
∑
n
=
1
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
2
n
,
0
<
x
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsch} \,x=\operatorname {arch} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}}
arcth
x
=
arth
1
x
=
x
−
1
+
x
−
3
3
+
x
−
5
5
+
x
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcth} \,x=\operatorname {arth} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}
Asymptotic expansion for the arsinh x is given by
arsh
x
=
ln
2
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
(
2
n
−
1
)
!
!
2
n
(
2
n
)
!
!
1
x
2
n
{\displaystyle \operatorname {arsh} \,x=\ln 2x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}
d
d
x
arsh
x
=
1
1
+
x
2
d
d
x
arch
x
=
1
x
2
−
1
d
d
x
arth
x
=
1
1
−
x
2
d
d
x
arcth
x
=
1
1
−
x
2
d
d
x
arsch
x
=
−
1
x
(
x
+
1
)
1
−
x
1
+
x
d
d
x
arcsch
x
=
−
1
x
2
1
+
1
x
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arch} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsch} \,x&{}={\frac {-1}{x(x+1)\,{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {-1}{x^{2}\,{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}\\\end{aligned}}}
Для дійсних x :
d
d
x
arsch
x
=
∓
1
x
1
−
x
2
;
ℜ
{
x
}
≷
0
d
d
x
arcsch
x
=
∓
1
x
1
+
x
2
;
ℜ
{
x
}
≷
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsch} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1+x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0\end{aligned}}}
Приклад диференціювання: якщо θ = arsh x , то:
d
arsh
x
d
x
=
d
θ
d
sh
θ
=
1
ch
θ
=
1
1
+
sh
2
θ
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsh} \,x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\operatorname {sh} \theta }}={\frac {1}{\operatorname {ch} \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
Композиція гіперболічних і обернених гіперболічних функцій
ред.
sh
(
arch
x
)
=
x
2
−
1
for
|
x
|
>
1
sh
(
arth
x
)
=
x
1
−
x
2
for
−
1
<
x
<
1
ch
(
arsh
x
)
=
1
+
x
2
ch
(
arth
x
)
=
1
1
−
x
2
for
−
1
<
x
<
1
th
(
arsh
x
)
=
x
1
+
x
2
th
(
arch
x
)
=
x
2
−
1
x
for
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sh} (\operatorname {arch} \,x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\operatorname {sh} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arsh} \,x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\operatorname {th} (\operatorname {arsh} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\operatorname {th} (\operatorname {arch} \,x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}}
Додаткові формули
ред.
arsh
u
±
arsh
v
=
arsh
(
u
1
+
v
2
±
v
1
+
u
2
)
{\displaystyle \operatorname {arsh} \;u\pm \operatorname {arsh} \;v=\operatorname {arsh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}
arch
u
±
arch
v
=
arch
(
u
v
±
(
u
2
−
1
)
(
v
2
−
1
)
)
{\displaystyle \operatorname {arch} \;u\pm \operatorname {arch} \;v=\operatorname {arch} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}
arth
u
±
arth
v
=
arth
(
u
±
v
1
±
u
v
)
{\displaystyle \operatorname {arth} \;u\pm \operatorname {arth} \;v=\operatorname {arth} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)}
arsh
u
+
arch
v
=
arsh
(
u
v
+
(
1
+
u
2
)
(
v
2
−
1
)
)
=
arch
(
v
1
+
u
2
+
u
v
2
−
1
)
arch
(
2
u
2
−
1
)
=
2
arch
u
arch
(
2
u
2
+
1
)
=
2
arsh
u
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \;u+\operatorname {arch} \;v&=\operatorname {arsh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arch} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\\\operatorname {arch} (2u^{2}-1)&=2\operatorname {arch} u\\\operatorname {arch} (2u^{2}+1)&=2\operatorname {arsh} u\end{aligned}}}
Див. також
ред.
Посилання
ред.
Обернені гіперболічні функції у Вікісховищі
