Гіперболічні функції

математична функція

Гіперболі́чні фу́нкції — сімейство елементарних функцій, які виражаються через експоненту і тісно пов'язані з тригонометричними функціями.

sh, ch та th

ВизначенняРедагувати

 
Визначення гіперболічних функцій через гіперболу

Гіперболічні функції задаються такими формулами:

  • гіперболічний синус:
  (в іноземній літературі позначається  ).

Існує сленгова назва: «шинус».

  • гіперболічний косинус:
  (в іноземній літературі позначається  ).

Існує сленгова назва: «чосинус», «кошинус».

Лінію гіперболічного косинуса називають ланцюговою, бо саме таку форму приймає ланцюг або мотузка, яку підвісили за обидва кінці в однорідному гравітаційному полі.

  • гіперболічний тангенс:
  (в іноземній літературі позначається  ).

Існують сленгові назви: «щангенс», «цангенс».

Іноді також визначається

  • гіперболічний котангенс:
 ,
  • гіперболічні секанс і косеканс:
 ,
 .

ВластивостіРедагувати

 
Один зі способів визначення тригонометричних функцій через одиничне коло

Зв'язок з тригонометричними функціямиРедагувати

Гіперболічні функції виражаються через тригонометричні функції від уявного аргументу.

 .

 .

Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції та гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.

Важливі тотожностіРедагувати

  1.  .
  2. Парність:
    1.  ,
    2.  ,
    3.  .
  3. Формули додавання:
    1.  ,
    2.  ,
    3.  .
  4. Формули подвоєного кута:
    1.  ,
    2.  ,
    3.  ,
    4.  ,
    5.  ,
    6.  .
  5. Формули кратних кутів:
    1.  ,
    2.  ,
    3.  ,
    4.  ,
    5.  ,
    6.  .
  6. Добуток
    1.  ,
    2.  ,
    3.  ,
    4.  .
  7. Суми
    1.  ,
    2.  ,
    3.  ,
    4.  .
  8. Формули пониження степеня
    1.  ,
    2.  .
  9. Похідні:
    1.  ,
    2.  ,
    3.  ,
    4.  ,
    5.  ,
    6.  .
  10. Інтеграли:
    1.  ,
    2.  ,
    3.  ,
    4.  ,
    5.  .
Дивись також: Таблиця інтегралів гіперболічних функцій, Таблиця інтегралів обернених гіперболічних функцій

НерівностіРедагувати

При всіх   виконується

  1.  ,
  2.  .

Розкладання в степеневі рядиРедагувати

 ,
 ,
 ,
  (Ряд Лорана).

Тут   — числа Бернуллі.

ГрафікиРедагувати

 
sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

Аналітичні властивостіРедагувати

Гіперболічний синус і гіперболічний косинус аналітичний у всій комплексній площині, за винятком істотно особливої точки на нескінченності. Гіперболічний тангенс аналітичний скрізь, окрім полюсів в точках  , де   — ціле. Лишки у всіх цих полюсах рівні одиниці. Гіперболічний котангенс аналітичний скрізь, окрім точок  , лишки в цих полюсах також рівні одиниці.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати