Функція Гудермана

Функція Гудермана(також гіперболічна амплітуда або гудерманіан) — спеціальна функція, що пов'язує тригонометричні і гіперболічні функції. Названа на честь німецького математика Крістофа Гудермана.

Графік функції Гудермана

Функція визначена як:

Головні властивостіРедагувати

Функція Гудермана визначає зв'язок, який існує між тригонометричними і гіперболічними функціями без застосування комплексного аналізу.

 
 

Експоненційну функцію можна виразити через функцію Гудермана:

   
 
 

Похідна функції Гудермана рівна:

 

Розклад в ряд Тейлора для функції Гудермана має вигляд:

 

Обернена функціяРедагувати

Обернена функція до функції Гудермана (що позначається як   або  ) рівна:

   
 
 
 
 

Окрім того справедливою є рівність:

 

Похідна оберненої функції Гудермана рівна:

 

Похідні, ряди, інтегралиРедагувати

Производні функції Гудермана і оберненої функції Гудермана дорівнюють відповідно гіперболічному і тригонометричному секансу:

 
 

Розклад у ряд:

 
 

Коефіцієнти розкладу гудерманіана і антигудерманіана при членах однакового степеня збігаються за модулем, однак у членів зі степенями 3, 7, 11,... коефіцієнти розкладу гудерманіана від'ємні, а в оберненої функції — додатні.

Інтеграл функції Гудермана:

 

где Li2дилогарифм.

Гудерманіан і антігудерманіан, що дозволяють легко переходити від гіперболічних до тригонометричних функцій і назад, використовуються для аналітичного інтегрування методом тригонометричної і гіперболічної підстановки.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати