Розклад в ряд Лорана можливий у деякому скінченому кільці, з центром в точці c. Шлях інтегрування γ обирається з кільця, і від вибору того чи іншого шляху інтегрування у фіксованому кільці коефіцієнти розкладу не змінюються.

Ряд Лорана — двосторонній[Note 1] степеневий ряд, у який розкладається комплексна функція f(z). Ряди Лорана застосовують для дослідження комплексної функції у тих випадках, коли розклад у ряд Тейлора не може бути застосований. Їх названо на честь П'єра Альфонса Лорана, який уперше опублікував свої дослідження цих рядів 1843 року. Карл Вейєрштрасс, можливо, застосовував такі ряди ще у 1841 році, але не опублікував своїх результатів.

Для комплексної функції f(z), аналітичної у скінченому кільці з центром у точці c, у довільній точці кільця виконується рівність:

де члени ряду an визначаються за формулою:

Шлях інтегрування γ є довільним замкненим контуром, що лежить у кільці і містить точку с.

ВластивостіРедагувати

  • Головною частиною ряду Лорана називаються члени з від'ємними степенями:
 
  • Правильною частиною (Тейлорівською частиною) ряду Лорана називаються члени з невід'ємними степенями:
 
  • Якщо ряд Лорана збігається, то його внутрішність області збіжності є кільцем:
 
  • У своєму кільці збіжності   ряд Лорана збігається абсолютно.
  • Функція f(z) в певній точці допускає єдиний розклад у ряд Лорана (якщо такий розклад існує).

Теорема ЛоранаРедагувати

Функція f(z) однозначна і аналітична в скінченому кільці   в довільній точці цього кільця допускає розклад у збіжний ряд Лорана.

Ряд Лорана є зручним інструментом для оцінки поведінки функції в околі ізольованої особливої точки. Залежно від головної частини ряду, особливу точку визначають як:

  • усувна особлива точка, якщо головна частина не містить ненульових членів;
  • простий полюс, якщо головна частина має скінчену кількість членів;
  • істотно особлива точка, якщо головна частина має нескінчену кількість членів.

ПрикладиРедагувати

Знайти розклад в ряд Лорана в точці   функції

 

Спочатку відзначимо

 

Далі,

 

Останній дріб може бути розкладений у геометричну прогресію відносно  ,

 

Множимо прогресію на -i/2, і ділимо обидві частини на z - i:

 

Як другий приклад можна розкласти в ряд Лорана квадрат вищерозглянутої функції

 

Для цього необхідно піднести до квадрата отриману для попереднього прикладу прогресію. Зазвичай, піднесення до степеня нескінченної прогресії є складною операцією. Однак для обчислення перших   членів ряду Лорана, нам достатньо перемножити між собою перші   членів вихідної прогресії:

 

ПриміткиРедагувати

  1. Двостророннім називають степеневий ряд, що містить доданки як додатнього, так і від'ємного степеня.

ДжерелаРедагувати