Відкрити головне меню

Числа Бернуллі — послідовність раціональних чисел знайдена Якобом Бернуллі в зв'язку з обчисленням суми однакових степенів натуральних чисел:

,

де  — Біноміальний коефіцієнт.

Формула для чисел БернулліРедагувати

Для чисел Бернуллі існує наступна рекурентна формула:  

ВластивостіРедагувати

  • Всі числа Бернуллі з непарними номерами, крім  , дорівнюють нулю, знаки   міняються.
  • Числа Бернуллі є значеннями при   многочленів Бернуллі:  .

Коефіцієнтами розкладу деяких елементарних функцій в степеневі ряди часто служать числа Бернуллі. Наприклад:

 ,
  •  ,
  •  .
  • Ейлер вказав на зв'язок між числами Бернуллі і значеннями дзета-функції Рімана   при парних  :
 
Із чого випливає
  для всіх n.
  •  

У математиці, числа Бернуллі Bn є послідовністю раціональних чисел, яка глибоко пов'язана з теорією чисел. Вони тісно пов'язані зі значеннями дзета-функції Рімана для від'ємних аргументів.

Є кілька означень для чисел Бернуллі. Найпоширенішим є Bn = 0 для всіх непарних n, крім 1 і B1 = −1/2, але деякі автори використовують B1 = +1/2 і деякі пишуть Bn для B2n. Значення перших ненульових чисел Бернуллі (більше значень нижче):

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Bn 1 −1/2 1/6 0 −1/30 0 1/42 0 −1/30 0 5/66 0 −691/2730 0 7/6

Числа Бернуллі були відкриті приблизно в однаковий час швейцарським математиком Якобом Бернуллі, в честь якого вони названі, і незалежно японським математиком Секі Такакадзу. Відкриття Секі було опубліковане посмертно в 1712 році [1][2] у своїй роботі Katsuyo Sampo; Бернуллі, також посмертно, у своєму Ars Conjectandi[en] 1713 року.

Вони з'являються в розкладі в ряд Тейлора функцій тангенса і гіперболічного тангенса, у формулі Ейлера-Маклорена, і у виразах для деяких значень дзета-функції Рімана.

Значення чисел БернулліРедагувати

BN = 0 для всіх непарних N', відмінне від 1. B 1 = 1 / 2 або −1 / 2 в залежності від прийнятої конвенції (див. вище).

ПриміткиРедагувати

  1. Selin, H. (1997), p. 891
  2. Smith, D. E. (1914), p. 108

ЛітератураРедагувати