Відкрити головне меню

Ли́шок (від фр. résidu — лишок, англ. residue, рос. вычет) у комплексному аналізі — число (як дійсне, так і комплексне), яке описує поведінку криволінійних інтегралів мероморфних функцій у деякій особливій точці. За допомогою лишків можна обчислювати значення інтегралів різних типів, у тому числі дійсних.

Зміст

ВизначенняРедагувати

Нехай функція   має ізольовану особливу точку однозначного характеру   (або регулярна у цій точці). При скінченному   лишком функції   у точці   називається величина

 

Оскільки   — будь-яке достатньо мале додатне число, а   — мероморфна, то величина вищевказаного інтегралу не залежить від значення цього параметра та шляху інтегрування.

Нескладно довести, що перший коефіцієнт розкладу функції   по степеням   в ряд Лорана є лишком цієї функції:

 

Лишок у «нескінченності»Редагувати

Для повного дослідження функції необхідно розглядати лишок у нескінченності (нескінченно віддалена точка на сфері Рімана). Нехай точка   є ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції  , тоді лишком у нескінченності називається число

 ,

де   — будь-яке достатньо велике додатне число. При цьому напрямок інтегрування по межі області обирається так, щоб область залишалася зліва (тобто проти годинникової стрілки).

Аналогічно до попереднього випадку, лишок у нескінченності можна представити у вигляді коефіцієнта лоранівського розвинення в околі нескінченно віддаленої точки:

 

Логарифмічний лишокРедагувати

Інтеграл виду

 

називається логарифмічним лишком функції   відносно контура С. Свою назву отримав через те, що підінтегральний вираз є похідною логарифма. Знаходить застосування у доведенні теореми Руше та основної теореми алгебри. Сам інтеграл визначається лише принципом аргументу:

 

Методи обчислення лишківРедагувати

На практиці обчислювати лишки за означенням, тобто через контурний інтеграл, у багатьох випадках важко. Тому використовують наслідки з означення для особливих точок різного типу.

Усувна особлива точкаРедагувати

В усувній особливій точці лишок дорівнює нулю. Проте, у випадку з нескінченністю це не завжди так. Якщо в околі нескінченно віддаленої точки функція має розвинення в ряд Лорана, то

 

ПолюсРедагувати

  • Простий полюс у точці  :
 
  • Полюс кратності n у точці  :
 

Проте, якщо функція представлена як частка двох голоморфних функцій:  , і  , то:

 

Істотно особлива точкаРедагувати

У більшості випадків в істотно особливій точці лишок зручно знаходити, як коефіцієнт розвинення в ряд Лорана. Наприклад:

 

Розвинемо   та   в ряд Лорана:

 
 

Тоді після підстановки цих розвинень та зведення подібних доданків, можна побачити, що:

 

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
  • Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1965. — 471 ст.