Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями , що виконуються для всіх значень аргумента зі спільної області визначення.
Основні позначення
ред.
В цій статті кути позначені грецькими буквами
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
і т. д. Величину кута найчастіше задають в градусах або радіанах :
1 повне коло = 360 градусів = 2
π
{\displaystyle \pi }
радіан
В наступній таблиці наведено спвівідношення між значеннями в градусах і радіанах для деяких кутів
Градуси
30°
60°
120°
150°
210°
240°
300°
330°
Радіани
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\!}
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}\!}
2
π
3
{\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}\!}
5
π
6
{\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}\!}
7
π
6
{\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}\!}
4
π
3
{\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}\!}
5
π
3
{\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}\!}
11
π
6
{\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}\!}
Градуси
45°
90°
135°
180°
225°
270°
315°
360°
Радіани
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\!}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\!}
3
π
4
{\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}\!}
π
{\displaystyle \pi \!}
5
π
4
{\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}\!}
3
π
2
{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\!}
7
π
4
{\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}\!}
2
π
{\displaystyle 2\pi \!}
Якщо не сказано інакше, то всі кути задано у радіанах, а кути, що закінчуються символом (°) — в градусах.
Тригонометричні функції
ред.
У статті будуть наведені співвідношення та тотожності для шести основних тригонометричних функцій:
синус
sin
α
,
{\displaystyle \sin \alpha ,}
косинус
cos
α
,
{\displaystyle \cos \alpha ,}
тангенс
tg
α
=
sin
α
cos
α
,
α
≠
π
2
+
π
n
,
n
∈
Z
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},\quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}
котангенс
ctg
α
=
cos
α
sin
α
,
α
≠
π
n
,
n
∈
Z
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},\quad \alpha \neq \pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}
секанс
sec
α
=
1
cos
α
,
α
≠
π
2
+
π
n
,
n
∈
Z
,
{\displaystyle \operatorname {sec} \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }},\quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}
косеканс
csc
α
=
1
sin
α
,
α
≠
π
n
,
n
∈
Z
,
{\displaystyle \operatorname {csc} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }},\quad \alpha \neq \pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}
В англомовній літературі тангенс та котангенс зазвичай позначають
tan
α
{\displaystyle \tan \alpha }
та
cot
α
,
{\displaystyle \cot \alpha ,}
відповідно.
Обернені тригонометричні функції
ред.
Обернені тригонометричні функції це такі функції, композиція яких зі звичайними тригонометричними функціями дає тотожне відображення. Наприклад, функція обернена до синуса, відома як обернений синус (sin−1 ) або арксинус (arcsin or asin), задовольняє співвідношення
sin
(
arcsin
x
)
=
x
,
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \sin(\arcsin x)=x,\quad \quad |x|\leq 1}
та
arcsin
(
sin
x
)
=
x
,
|
x
|
≤
π
2
.
{\displaystyle \arcsin(\sin x)=x,\quad \quad |x|\leq {\frac {\pi }{2}}.}
Тригонометричні функції та обернені до них наведені в наступній таблиці:
Функція
sin
cos
tg
ctg
sec
csc
Обернена
arcsin
arccos
arctg
arcctg
arcsec
arccsc
Екзотичні тригонометричні функції
ред.
Крім основних шести, також використовують інші тригонометричні функції кута. Їх використовували раніше при розв'язуванні різних навігаційних задач, однак з розвитком обчислювальної техніки вони втратили свою актуальність.
Назва
Скорочене позн.
Значення
синус-верзус
versin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {versin} (\theta )}
vers
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {vers} (\theta )}
ver
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {ver} (\theta )}
1
−
cos
(
θ
)
{\displaystyle 1-\cos(\theta )}
косинус-верзус
vercosin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {vercosin} (\theta )}
1
+
cos
(
θ
)
{\displaystyle 1+\cos(\theta )}
коверсинус
coversin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {coversin} (\theta )}
cvs
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {cvs} (\theta )}
1
−
sin
(
θ
)
{\displaystyle 1-\sin(\theta )}
коверкосинус
covercosin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {covercosin} (\theta )}
1
+
sin
(
θ
)
{\displaystyle 1+\sin(\theta )}
гаверсинус
haversin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {haversin} (\theta )}
1
−
cos
(
θ
)
2
{\displaystyle {\frac {1-\cos(\theta )}{2}}}
гаверкосинус
havercosin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {havercosin} (\theta )}
1
+
cos
(
θ
)
2
{\displaystyle {\frac {1+\cos(\theta )}{2}}}
когаверсинус
hacoversin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {hacoversin} (\theta )}
1
−
sin
(
θ
)
2
{\displaystyle {\frac {1-\sin(\theta )}{2}}}
когаверкосинус
hacovercosin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {hacovercosin} (\theta )}
1
+
sin
(
θ
)
2
{\displaystyle {\frac {1+\sin(\theta )}{2}}}
ексеканс
exsec
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )}
sec
(
θ
)
−
1
{\displaystyle \sec(\theta )-1}
екскосеканс
excsc
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )}
csc
(
θ
)
−
1
{\displaystyle \csc(\theta )-1}
хорда
crd
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {crd} (\theta )}
2
sin
θ
2
{\displaystyle 2\sin {\frac {\theta }{2}}}
Таблиці значень тригонометричних функцій
ред.
Основні тригонометричні формули
ред.
Формули зведення
ред.
Формули для суми аргументів
ред.
Візуалізація формули (6)
Формули для суми аргументів
sin
(
α
±
β
)
=
sin
α
cos
β
±
cos
α
sin
β
{\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }
(5)
cos
(
α
±
β
)
=
cos
α
cos
β
∓
sin
α
sin
β
{\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }
(6)
t
g
(
α
±
β
)
=
t
g
α
±
t
g
β
1
∓
t
g
α
t
g
β
{\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\mathop {\mathrm {tg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {tg} } \beta }{1\mp \mathop {\mathrm {tg} } \alpha \mathop {\mathrm {tg} } \beta }}}
(7)
ctg
(
α
±
β
)
=
c
t
g
α
c
t
g
β
∓
1
c
t
g
α
±
c
t
g
β
{\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha \mathop {\mathrm {ctg} } \beta \mp 1}{\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {ctg} } \beta }}}
Формула (7) отримана діленням (5) на (6) .
Синус і косинус від нескінченної суми
ред.
sin
(
∑
i
=
1
∞
α
i
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
∑
A
⊆
{
1
,
2
,
3
,
…
}
|
A
|
=
2
k
+
1
(
∏
i
∈
A
sin
α
i
∏
i
∉
A
cos
α
i
)
,
{\displaystyle \sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=2k+1\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \alpha _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \alpha _{i}\right),}
cos
(
∑
i
=
1
∞
α
i
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
∑
A
⊆
{
1
,
2
,
3
,
…
}
|
A
|
=
2
k
(
∏
i
∈
A
sin
α
i
∏
i
∉
A
cos
α
i
)
.
{\displaystyle \cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }~(-1)^{k}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=2k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \alpha _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \alpha _{i}\right).}
У правих частинах рівності суму взято по всіх підмножинах натуральних чисел з 2k+1 або 2k елементів відповідно.
Тангенси від сум аргументів
ред.
Нехай
e
k
=
e
k
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
=
1
,
2
,
3
…
,
{\displaystyle e_{k}=e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\,k=0,1,2,\ldots ,n=1,2,3\ldots ,}
— елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних
x
i
=
tg
α
i
i
=
1
,
2
,
…
,
n
.
{\displaystyle x_{i}=\operatorname {tg} \alpha _{i}\quad i=1,2,\ldots ,n.}
Наприклад:
e
0
=
1
,
{\displaystyle e_{0}=1,}
e
1
=
∑
i
=
1
n
x
i
=
∑
i
tg
α
i
,
{\displaystyle e_{1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i}\operatorname {tg} \alpha _{i},}
e
2
=
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
x
i
x
j
=
∑
i
<
j
tg
α
i
tg
α
j
,
{\displaystyle e_{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}=\sum _{i<j}\operatorname {tg} \alpha _{i}\operatorname {tg} \alpha _{j},}
e
3
=
∑
1
≤
i
<
j
<
k
≤
n
x
i
x
j
x
k
=
∑
i
<
j
<
k
tg
α
i
tg
α
j
tg
α
k
.
{\displaystyle e_{3}=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}=\sum _{i<j<k}\operatorname {tg} \alpha _{i}\operatorname {tg} \alpha _{j}\operatorname {tg} \alpha _{k}.}
Тоді
tg
(
∑
i
=
1
2
k
α
i
)
=
e
1
−
e
3
+
e
5
−
⋯
+
(
−
1
)
k
+
1
e
2
k
−
1
e
0
−
e
2
+
e
4
−
⋯
+
(
−
1
)
k
e
2
k
=
∑
i
=
1
k
(
−
1
)
i
+
1
e
2
i
−
1
∑
i
=
0
k
(
−
1
)
i
e
2
i
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\sum _{i=1}^{2k}\alpha _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots +(-1)^{k+1}e_{2k-1}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k}}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{2i-1}}{\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{2i}}},\!}
tg
(
∑
i
=
1
2
k
+
1
α
i
)
=
e
1
−
e
3
+
e
5
−
⋯
+
(
−
1
)
k
e
2
k
+
1
e
0
−
e
2
+
e
4
−
⋯
+
(
−
1
)
k
e
2
k
=
∑
i
=
1
k
(
−
1
)
i
e
2
i
+
1
∑
i
=
0
k
(
−
1
)
i
e
2
i
.
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\sum _{i=1}^{2k+1}\alpha _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k+1}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k}}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i}e_{2i+1}}{\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{2i}}}.\!}
Наприклад:
t
g
(
α
1
+
α
2
)
=
e
1
e
0
−
e
2
=
x
1
+
x
2
1
−
x
1
x
2
=
t
g
α
1
+
t
g
α
2
1
−
t
g
α
1
t
g
α
2
,
t
g
(
α
1
+
α
2
+
α
3
)
=
e
1
−
e
3
e
0
−
e
2
=
(
x
1
+
x
2
+
x
3
)
−
(
x
1
x
2
x
3
)
1
−
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
)
=
t
g
α
1
+
t
g
α
2
+
t
g
α
3
−
t
g
α
1
t
g
α
2
t
g
α
3
1
−
(
t
g
α
1
t
g
α
2
+
t
g
α
1
t
g
α
3
+
t
g
α
2
t
g
α
3
)
,
t
g
(
α
1
+
α
2
+
α
3
+
α
4
)
=
e
1
−
e
3
e
0
−
e
2
+
e
4
=
(
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
)
−
(
x
1
x
2
x
3
+
x
1
x
2
x
4
+
x
1
x
3
x
4
+
x
2
x
3
x
4
)
1
−
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
1
x
4
+
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
x
3
x
4
)
+
(
x
1
x
2
x
3
x
4
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}}{1\ -\ \mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2}}},\\[8pt]\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}}={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}+\mathrm {tg} \,\alpha _{3}-\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2}\mathrm {tg} \,\alpha _{3}}{1-(\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\,\mathrm {tg} \,\alpha _{2}+\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\,\mathrm {tg} \,\alpha _{3}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}\mathrm {tg} \,\alpha _{3})}},\\[8pt]\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\alpha _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}}\end{aligned}}}
і так далі.
Секанс і косеканс від суми аргументів
ред.
sec
(
∑
i
n
α
i
)
=
∏
i
n
sec
α
i
e
0
−
e
2
+
e
4
−
⋯
=
∏
i
n
sec
α
i
∑
0
≤
2
k
≤
n
(
−
1
)
k
e
2
k
csc
(
∑
i
n
α
i
)
=
∏
i
n
sec
α
i
e
1
−
e
3
+
e
5
−
⋯
=
∏
i
n
sec
α
i
∑
1
≤
2
k
+
1
≤
n
(
−
1
)
k
e
2
k
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{\displaystyle \sum _{0\leq 2k\leq n}(-1)^{k}e_{2k}}}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{\displaystyle \sum _{1\leq 2k+1\leq n}(-1)^{k}e_{2k+1}}}\end{aligned}}}
де e k — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних (дивись пункт тангенси від сум аргументів )
x
i
=
tg
α
i
i
=
1
,
2
,
…
,
n
.
{\displaystyle x_{i}=\operatorname {tg} \alpha _{i}\quad i=1,2,\ldots ,n.}
Наприклад,
sec
(
α
+
β
+
γ
)
=
sec
α
sec
β
sec
γ
1
−
t
g
α
t
g
β
−
t
g
α
t
g
γ
−
t
g
β
t
g
γ
,
csc
(
α
+
β
+
γ
)
=
sec
α
sec
β
sec
γ
t
g
α
+
t
g
β
+
t
g
γ
−
t
g
α
t
g
β
tg
γ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta -\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\gamma -\mathrm {tg} \,\beta \,\mathrm {tg} \,\gamma }},\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\mathrm {tg} \,\alpha +\mathrm {tg} \,\beta +\mathrm {tg} \,\gamma -\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta \operatorname {tg} \gamma }}.\end{aligned}}}
Формули подвійного кута
ред.
Формули потрійного кута
ред.
Формули потрійного кута
sin
3
α
=
3
sin
α
−
4
sin
3
α
=
4
sin
α
sin
(
π
3
−
α
)
sin
(
π
3
+
α
)
{\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha =4\sin \alpha \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)\,}
cos
3
α
=
4
cos
3
α
−
3
cos
α
=
4
cos
α
cos
(
π
3
−
α
)
cos
(
π
3
+
α
)
{\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha =4\cos \alpha \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)\,}
tg
3
α
=
3
tg
α
−
tg
3
α
1
−
3
tg
2
α
=
t
g
α
tg
(
π
3
−
α
)
tg
(
π
3
+
α
)
{\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}=\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)}
ctg
3
α
=
3
ctg
α
−
ctg
3
α
1
−
3
ctg
2
α
=
c
t
g
α
ctg
(
π
3
−
α
)
ctg
(
π
3
+
α
)
{\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}=\mathrm {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)}
Формули кратних кутів
ред.
Формули кратних кутів
sin
(
n
α
)
=
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
−
1
)
k
(
n
2
k
+
1
)
cos
n
−
2
k
−
1
α
sin
2
k
+
1
α
{\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha }
cos
(
n
α
)
=
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
−
1
)
k
(
n
2
k
)
cos
n
−
2
k
α
sin
2
k
α
{\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha }
t
g
(
n
α
)
=
sin
(
n
α
)
cos
(
n
α
)
=
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
−
1
)
k
(
n
2
k
+
1
)
tg
2
k
+
1
α
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
−
1
)
k
(
n
2
k
)
tg
2
k
α
{\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\operatorname {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\operatorname {tg} ^{2k}\alpha }}}}
c
t
g
(
n
α
)
=
cos
(
n
α
)
sin
(
n
α
)
=
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
−
1
)
k
(
n
2
k
)
ctg
n
−
2
k
α
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
−
1
)
k
(
n
2
k
+
1
)
ctg
n
−
2
k
−
1
α
{\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\operatorname {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\operatorname {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}}}
де
[
n
]
{\displaystyle [n]}
— ціла частина числа
n
{\displaystyle n}
,
(
n
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}}
— біноміальний коефіцієнт .
Вивід формул
Формули для кратних кутів виводяться за допомогою формули Муавра
(
cos
α
+
i
sin
α
)
n
=
cos
(
n
α
)
+
i
sin
(
n
α
)
,
i
2
=
−
1.
{\displaystyle \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\cos \left(n\alpha \right)+i\sin \left(n\alpha \right),\quad i^{2}=-1.}
Розкриємо праву частину рівності за формулою бінома Ньютона
(
cos
α
+
i
sin
α
)
n
=
∑
q
=
0
n
(
n
q
)
(
cos
α
)
n
−
q
(
i
sin
α
)
q
.
{\displaystyle \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\sum _{q=0}^{n}{n \choose q}(\cos \alpha )^{n-q}(i\sin \alpha )^{q}.}
Врахувавши, що
i
2
k
=
(
−
1
)
k
,
i
2
k
+
1
=
(
−
1
)
k
i
,
k
∈
Z
+
,
{\displaystyle i^{2k}=(-1)^{k},\,i^{2k+1}=(-1)^{k}i,\,k\in \mathbb {Z} _{+},}
та виділивши окремо дійсну та уявну частини, рівність запишемо у вигляді
(
cos
α
+
i
sin
α
)
n
=
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
n
2
k
)
(
−
1
)
k
(
cos
α
)
n
−
2
k
(
sin
α
)
2
k
+
i
(
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
n
2
k
+
1
)
(
−
1
)
k
(
cos
α
)
n
−
2
k
−
1
(
sin
α
)
2
k
+
1
)
.
{\displaystyle \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k}(\sin \alpha )^{2k}+i\left(\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k-1}(\sin \alpha )^{2k+1}\right).}
Підставимо отриману рівність у формулу Муавра
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
n
2
k
)
(
−
1
)
k
(
cos
α
)
n
−
2
k
(
sin
α
)
2
k
+
i
(
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
n
2
k
+
1
)
(
−
1
)
k
(
cos
α
)
n
−
2
k
−
1
(
sin
α
)
2
k
+
1
)
=
cos
(
n
α
)
+
i
sin
(
n
α
)
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k}(\sin \alpha )^{2k}+i\left(\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k-1}(\sin \alpha )^{2k+1}\right)=\cos \left(n\alpha \right)+i\sin \left(n\alpha \right).}
Оскільки два комплексні числа рівні тоді і лише тоді коли рівні їхні дійсні та уявні частини, то з останньої рівності отримуємо шукані формули
sin
(
n
α
)
=
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
−
1
)
k
(
n
2
k
+
1
)
cos
n
−
2
k
−
1
α
sin
2
k
+
1
α
,
{\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,}
cos
(
n
α
)
=
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
−
1
)
k
(
n
2
k
)
cos
n
−
2
k
α
sin
2
k
α
.
{\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha .}
Ітераційні формули
ред.
sin
(
n
+
1
)
α
=
2
sin
α
cos
n
α
+
sin
(
n
−
1
)
α
,
{\displaystyle \sin(n+1)\alpha =2\sin \alpha \cos n\alpha +\sin(n-1)\alpha ,}
cos
(
n
+
1
)
α
=
2
cos
α
cos
n
α
+
cos
(
n
−
1
)
α
.
{\displaystyle \cos(n+1)\alpha =2\cos \alpha \cos n\alpha +\cos(n-1)\alpha .}
t
g
(
n
+
1
)
α
=
t
g
(
n
α
)
+
tg
α
1
−
t
g
(
n
α
)
tg
α
.
{\displaystyle \mathrm {tg} (n+1)\alpha ={\frac {\mathrm {tg} (n\alpha )+\operatorname {tg} \alpha }{1-\mathrm {tg} (n\alpha )\operatorname {tg} \alpha }}.}
c
t
g
(
n
+
1
)
α
=
c
t
g
(
n
α
)
ctg
α
−
1
c
t
g
(
n
α
)
+
ctg
α
.
{\displaystyle \mathrm {ctg} (n+1)\alpha ={\frac {\mathrm {ctg} (n\alpha )\operatorname {ctg} \alpha -1}{\mathrm {ctg} (n\alpha )+\operatorname {ctg} \alpha }}.}
З використанням спеціальних многочленів
ред.
Мають місце такі співвідношення:
cos
n
α
=
T
n
(
cos
α
)
,
sin
2
n
α
=
1
−
T
n
(
1
−
2
sin
2
α
)
2
,
{\displaystyle \cos n\alpha =T_{n}(\cos \alpha ),\quad \sin ^{2}n\alpha ={\frac {1-T_{n}(1-2\sin ^{2}\alpha )}{2}},}
де
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
— поліном Чебишова першого роду степеня n.
Зображення у вигляді скінченних добутків
ред.
sin
2
m
α
=
2
m
sin
α
cos
α
∏
k
=
1
m
−
1
(
1
−
sin
2
α
sin
2
π
k
2
m
)
,
cos
2
m
α
=
∏
k
=
1
m
(
1
−
sin
2
α
sin
2
π
(
2
k
−
1
)
4
m
)
,
m
∈
N
,
{\displaystyle \sin 2m\alpha =2m\sin \alpha \cos \alpha \prod _{k=1}^{m-1}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi k}{2m}}}}\right),\quad \cos 2m\alpha =\prod _{k=1}^{m}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi (2k-1)}{4m}}}}\right),\quad m\in \mathbb {N} ,}
sin
(
2
m
−
1
)
α
=
(
2
m
−
1
)
sin
α
∏
k
=
1
m
−
1
(
1
−
sin
2
α
sin
2
π
k
2
m
−
1
)
,
cos
(
2
m
−
1
)
α
=
cos
α
∏
k
=
1
m
(
1
−
sin
2
α
sin
2
π
(
2
k
−
1
)
2
(
2
m
−
1
)
)
,
m
∈
N
,
{\displaystyle \sin(2m-1)\alpha =(2m-1)\sin \alpha \prod _{k=1}^{m-1}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi k}{2m-1}}}}\right),\quad \cos(2m-1)\alpha =\cos \alpha \prod _{k=1}^{m}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi (2k-1)}{2(2m-1)}}}}\right),\quad m\in \mathbb {N} ,}
sin
n
α
=
2
n
−
1
∏
k
=
0
n
−
1
sin
(
α
+
k
π
n
)
,
cos
n
α
=
2
n
−
1
∏
k
=
1
n
sin
(
α
+
(
2
k
−
1
)
π
2
n
)
.
{\displaystyle \sin n\alpha =2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {k\pi }{n}}\right),\quad \cos n\alpha =2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left(\alpha +{\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\right).}
Формули половинного кута
ред.
Формули пониження степеня
ред.
Загальні формули пониження степеня
ред.
Формули перетворення добутків функцій
ред.
Формули перетворення добутків функцій
sin
α
sin
β
=
cos
(
α
−
β
)
−
cos
(
α
+
β
)
2
{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}}
(28)
sin
α
cos
β
=
sin
(
α
+
β
)
+
sin
(
α
−
β
)
2
{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}}
(29)
cos
α
cos
β
=
cos
(
α
+
β
)
+
cos
(
α
−
β
)
2
{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}{2}}}
(30)
tg
α
tg
β
=
cos
(
α
−
β
)
−
cos
(
α
+
β
)
cos
(
α
+
β
)
+
cos
(
α
−
β
)
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}}}
cos
α
cos
β
cos
γ
=
cos
(
α
+
β
+
γ
)
+
cos
(
α
−
β
+
γ
)
+
cos
(
α
+
β
−
γ
)
+
cos
(
β
+
γ
−
α
)
4
{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}}
(31)
sin
α
cos
β
cos
γ
=
sin
(
α
+
β
+
γ
)
+
sin
(
α
−
β
+
γ
)
+
sin
(
α
+
β
−
γ
)
−
sin
(
β
+
γ
−
α
)
4
{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}}
(32)
sin
α
sin
β
cos
γ
=
−
cos
(
α
+
β
+
γ
)
+
cos
(
α
−
β
+
γ
)
−
cos
(
α
+
β
−
γ
)
−
cos
(
β
+
γ
−
α
)
4
{\displaystyle \,\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta -\gamma )-\cos(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}}
(33)
sin
α
sin
β
sin
γ
=
−
sin
(
α
+
β
+
γ
)
+
sin
(
α
−
β
+
γ
)
+
sin
(
α
+
β
−
γ
)
+
sin
(
β
+
γ
−
α
)
4
{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {-\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}}
(34)
Формули перетворення суми функцій
ред.
Формули перетворення суми функцій
sin
α
±
sin
β
=
2
sin
α
±
β
2
cos
α
∓
β
2
{\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}}
(35)
cos
α
+
cos
β
=
2
cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
(36)
cos
α
−
cos
β
=
−
2
sin
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
(37)
t
g
α
±
t
g
β
=
sin
(
α
±
β
)
cos
α
cos
β
{\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {tg} } \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}
(38)
c
t
g
α
±
c
t
g
β
=
sin
(
β
±
α
)
sin
α
sin
β
{\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {ctg} } \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}}
(39)
t
g
α
±
c
t
g
β
=
±
cos
(
α
∓
β
)
cos
α
sin
β
{\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {ctg} } \beta ={\frac {\pm \cos(\alpha \mp \beta )}{\cos \alpha \sin \beta }}}
(40)
t
g
α
+
c
t
g
α
=
1
cos
α
sin
α
=
2
csc
2
α
{\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \alpha +\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha \sin \alpha }}=2\csc 2\alpha }
(41)
t
g
α
−
c
t
g
α
=
−
2
c
t
g
2
α
{\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \alpha -\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha =-2\mathop {\mathrm {ctg} } 2\alpha }
(42)
cos
α
+
sin
α
=
2
cos
(
π
4
−
α
)
=
2
sin
(
π
4
+
α
)
{\displaystyle \cos \alpha +\sin \alpha ={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)}
(43)
cos
α
−
sin
α
=
2
sin
(
π
4
−
α
)
=
2
cos
(
π
4
+
α
)
{\displaystyle \cos \alpha -\sin \alpha ={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)}
(43)
Загальні суми
ред.
∑
k
=
1
n
cos
(
2
k
−
1
)
α
=
cos
α
+
cos
3
α
+
cos
5
α
+
…
+
cos
(
2
n
−
1
)
α
=
sin
2
n
α
2
sin
α
,
n
≥
1
,
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =\cos \alpha +\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\ldots +\cos(2n-1)\alpha ={\frac {\sin 2n\alpha }{2\sin \alpha }},\quad n\geq 1,}
{\displaystyle }
∑
k
=
0
n
sin
(
2
k
−
1
)
α
=
sin
α
+
sin
3
α
+
sin
5
α
+
…
+
sin
(
2
n
−
1
)
α
=
sin
2
n
α
sin
α
,
n
≥
1
,
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sin(2k-1)\alpha =\sin \alpha +\sin 3\alpha +\sin 5\alpha +\ldots +\sin(2n-1)\alpha ={\frac {\sin ^{2}n\alpha }{\sin \alpha }},\quad n\geq 1,}
{\displaystyle }
∑
k
=
0
n
cos
(
φ
+
k
α
)
=
cos
φ
+
cos
(
φ
+
α
)
+
cos
(
φ
+
2
α
)
+
…
+
cos
(
φ
+
n
α
)
=
cos
(
φ
+
n
α
2
)
sin
(
n
+
1
)
α
2
sin
α
2
,
α
≠
0
,
n
≥
1
,
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\cos(\varphi +k\alpha )=\cos \varphi +\cos(\varphi +\alpha )+\cos(\varphi +2\alpha )+\ldots +\cos(\varphi +n\alpha )={\frac {\displaystyle \cos \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}}{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad \alpha \neq 0,n\geq 1,}
∑
k
=
0
n
sin
(
φ
+
k
α
)
=
sin
φ
+
sin
(
φ
+
α
)
+
sin
(
φ
+
2
α
)
+
…
+
sin
(
φ
+
n
α
)
=
sin
(
φ
+
n
α
2
)
sin
(
n
+
1
)
α
2
sin
α
2
,
α
≠
0
,
n
≥
1.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sin(\varphi +k\alpha )=\sin \varphi +\sin(\varphi +\alpha )+\sin(\varphi +2\alpha )+\ldots +\sin(\varphi +n\alpha )={\frac {\displaystyle \sin \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}}{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad \alpha \neq 0,n\geq 1.}
∑
k
=
0
n
cos
2
(
k
α
)
=
3
+
2
n
+
csc
α
sin
(
2
n
+
1
)
α
4
,
∑
k
=
0
n
sin
2
(
k
α
)
=
1
+
2
n
−
csc
α
sin
(
2
n
+
1
)
α
4
,
n
≥
1
,
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\cos ^{2}(k\alpha )={\frac {\displaystyle 3+2n+\csc \alpha \sin(2n+1)\alpha }{4}},\quad \sum _{k=0}^{n}\sin ^{2}(k\alpha )={\frac {\displaystyle 1+2n-\csc \alpha \sin(2n+1)\alpha }{4}},\quad n\geq 1,}
∑
k
=
1
n
−
1
k
cos
(
k
α
)
=
n
sin
2
n
−
1
2
α
2
sin
α
2
−
1
−
cos
n
α
4
sin
2
α
2
,
∑
k
=
1
n
−
1
k
sin
(
k
α
)
=
sin
n
α
4
sin
2
α
2
−
n
cos
2
n
−
1
2
α
2
sin
α
2
,
n
≥
2
,
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k\cos(k\alpha )={\frac {n\displaystyle \sin {\frac {2n-1}{2}}\alpha }{2\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}}-{\frac {1-\cos n\alpha }{4\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}},\quad \sum _{k=1}^{n-1}k\sin(k\alpha )={\frac {\sin n\alpha }{4\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}-{\frac {n\displaystyle \cos {\frac {2n-1}{2}}\alpha }{2\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad n\geq 2,}
∑
k
=
0
n
p
k
cos
(
k
α
)
=
1
−
p
cos
α
−
p
n
+
1
cos
(
n
+
1
)
α
−
p
n
+
2
cos
n
α
1
−
2
p
cos
α
+
p
2
,
n
≥
1
,
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}p^{k}\cos(k\alpha )={\frac {1-p\cos \alpha -p^{n+1}\cos(n+1)\alpha -p^{n+2}\cos n\alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}},\quad n\geq 1,}
∑
k
=
0
n
p
k
sin
(
k
α
)
=
p
sin
α
−
p
n
+
1
sin
(
n
+
1
)
α
−
p
n
+
2
sin
n
α
1
−
2
p
cos
α
+
p
2
,
n
≥
1.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}p^{k}\sin(k\alpha )={\frac {p\sin \alpha -p^{n+1}\sin(n+1)\alpha -p^{n+2}\sin n\alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}},\quad n\geq 1.}
Якщо ж
p
{\displaystyle p}
таке, що
|
p
|
<
1
{\displaystyle |p|<1}
, то при
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
отримуємо
∑
k
=
0
∞
p
k
cos
(
k
α
)
=
1
−
p
cos
α
1
−
2
p
cos
α
+
p
2
,
∑
k
=
0
∞
p
k
sin
(
k
α
)
=
p
sin
α
1
−
2
p
cos
α
+
p
2
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p^{k}\cos(k\alpha )={\frac {1-p\cos \alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}},\quad \sum _{k=0}^{\infty }p^{k}\sin(k\alpha )={\frac {p\sin \alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}}.}
Ядро Діріхле та ядро Феєра
ред.
Сума виду
D
n
(
x
)
=
1
2
+
∑
k
=
1
n
cos
(
k
x
)
=
sin
(
(
n
+
1
2
)
x
)
2
sin
(
x
2
)
.
{\displaystyle D_{n}(x)={\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+\displaystyle {\frac {1}{2}}\right)x\right)}{2\sin \left(\displaystyle {\frac {x}{2}}\right)}}.}
називається ядром Діріхле .
А функція
Φ
n
(
x
)
=
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
D
k
(
x
)
,
{\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x),}
називається ядром Феєра
Φ
n
(
x
)
=
1
2
(
n
+
1
)
(
sin
n
+
1
2
x
sin
x
2
)
2
=
1
2
(
n
+
1
)
1
−
cos
(
(
n
+
1
)
x
)
1
−
cos
x
{\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{2(n+1)}}\left({\frac {\sin \displaystyle {\frac {n+1}{2}}x}{\sin \displaystyle {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}={\frac {1}{2(n+1)}}{\frac {1-\cos((n+1)x)}{1-\cos x}}}
,
Вони використані при сумуванні рядів Фур'є .
Зображення через нескінченні добутки
ред.
sin
x
=
x
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
π
2
n
2
)
,
cos
x
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
π
2
(
n
−
1
2
)
2
)
,
{\displaystyle \sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),\qquad \cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\displaystyle {\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-\displaystyle {\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right),}
Співвдношення за додаткових обмежень на значення кутів
ред.
α
+
β
+
γ
=
π
,
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi ,}
тоді
sin
2
α
+
sin
2
β
+
sin
2
γ
=
4
sin
α
sin
β
sin
γ
,
{\displaystyle \sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,\,}
sin
α
+
sin
β
+
sin
γ
=
4
cos
α
2
cos
β
2
cos
γ
2
,
{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}},\,}
sin
2
α
+
sin
2
β
+
sin
2
γ
=
2
cos
α
cos
β
cos
γ
+
2
,
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2,\,}
cos
2
α
+
cos
2
β
+
cos
2
γ
=
−
4
cos
α
cos
β
cos
γ
−
1
,
{\displaystyle \cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma =-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1,\,}
cos
α
+
cos
β
+
cos
γ
=
4
sin
α
2
sin
β
2
sin
γ
2
+
1
,
{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1,}
cos
2
α
+
cos
2
β
+
cos
2
γ
=
−
2
cos
α
cos
β
cos
γ
+
1
,
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1,\,}
t
g
α
+
t
g
β
+
t
g
γ
=
t
g
α
t
g
β
t
g
γ
,
{\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha +\mathrm {tg} \,\beta +\mathrm {tg} \,\gamma =\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta \,\mathrm {tg} \,\gamma ,\,}
t
g
β
2
t
g
γ
2
+
t
g
γ
2
t
g
α
2
+
t
g
α
2
t
g
β
2
=
1
,
{\displaystyle \mathrm {tg} \,{\frac {\beta }{2}}\mathrm {tg} \,{\frac {\gamma }{2}}+\mathrm {tg} \,{\frac {\gamma }{2}}\mathrm {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}+\mathrm {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}\mathrm {tg} \,{\frac {\beta }{2}}=1,}
c
t
g
α
2
+
c
t
g
β
2
+
c
t
g
γ
2
=
c
t
g
α
2
⋅
c
t
g
β
2
⋅
c
t
g
γ
2
,
{\displaystyle \mathrm {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}+\mathrm {ctg} \,{\frac {\beta }{2}}+\mathrm {ctg} \,{\frac {\gamma }{2}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}\cdot \mathrm {ctg} \,{\frac {\beta }{2}}\cdot \mathrm {ctg} \,{\frac {\gamma }{2}},}
c
t
g
α
c
t
g
β
+
c
t
g
β
c
t
g
γ
+
c
t
g
γ
c
t
g
α
=
1.
{\displaystyle \mathrm {ctg} \,\alpha \,\mathrm {ctg} \,\beta +\mathrm {ctg} \,\beta \,\mathrm {ctg} \,\gamma +\mathrm {ctg} \,\gamma \,\mathrm {ctg} \,\alpha =1.\,}
Зауважимо, що наведені вище співвідношення справджуються, якщо
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
— кути деякого трикутника.
α
+
β
+
γ
=
π
2
,
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma ={\frac {\pi }{2}},}
тоді
c
t
g
(
α
)
+
c
t
g
(
β
)
+
c
t
g
(
γ
)
=
c
t
g
(
α
)
c
t
g
(
β
)
c
t
g
(
γ
)
.
{\displaystyle \mathrm {ctg} (\alpha )+\mathrm {ctg} (\beta )+\mathrm {ctg} (\gamma )=\mathrm {ctg} (\alpha )\,\mathrm {ctg} (\beta )\,\mathrm {ctg} (\gamma ).}
α
+
β
+
γ
+
θ
=
π
,
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\theta =\pi ,}
тоді
sin
(
θ
+
α
)
sin
(
α
+
β
)
=
sin
(
α
+
β
)
sin
(
β
+
γ
)
=
sin
(
β
+
γ
)
sin
(
γ
+
θ
)
=
sin
(
γ
+
θ
)
sin
(
θ
+
α
)
=
sin
(
θ
)
sin
(
β
)
+
sin
(
α
)
sin
(
γ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\alpha )\sin(\alpha +\beta )&=\sin(\alpha +\beta )\sin(\beta +\gamma )\\&=\sin(\beta +\gamma )\sin(\gamma +\theta )\\&=\sin(\gamma +\theta )\sin(\theta +\alpha )\\&=\sin(\theta )\sin(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\gamma ).\end{aligned}}}
Обернені тригонометричні функції
ред.
arcsin
(
−
x
)
=
−
arcsin
(
x
)
,
arccos
(
−
x
)
=
π
−
arccos
(
x
)
,
arcsin
(
x
)
+
arccos
(
x
)
=
π
/
2
{\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin(x),\quad \arccos(-x)=\pi -\arccos(x),\quad \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;}
a
r
c
t
g
(
−
x
)
=
−
a
r
c
t
g
(
x
)
,
a
r
c
c
t
g
(
−
x
)
=
π
−
a
r
c
c
t
g
(
x
)
,
a
r
c
t
g
(
x
)
+
a
r
c
c
t
g
(
x
)
=
π
/
2.
{\displaystyle \mathrm {arctg} (-x)=-\mathrm {arctg} (x),\quad \mathrm {arcctg} (-x)=\pi -\mathrm {arcctg} (x),\quad \mathrm {arctg} (x)+\mathrm {arcctg} (x)=\pi /2.\;}
a
r
c
t
g
(
x
)
+
a
r
c
t
g
(
1
/
x
)
=
{
π
/
2
,
x
>
0
,
−
π
/
2
,
x
<
0.
{\displaystyle \mathrm {arctg} (x)+\mathrm {arctg} (1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&x>0,\\-\pi /2,&x<0.\end{matrix}}\right.}
Зв'язок між оберненими тригонометричними функціями для x>0
arccos
{\displaystyle \arccos }
arcsin
{\displaystyle \arcsin }
a
r
c
t
g
{\displaystyle \mathrm {arctg} \,}
a
r
c
c
t
g
{\displaystyle \mathrm {arcctg} \,}
arccos
x
=
{\displaystyle \arccos x=}
arccos
x
{\displaystyle \arccos x}
π
2
−
arcsin
x
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arcsin x}
a
r
c
t
g
1
−
x
2
x
{\displaystyle \mathrm {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
a
r
c
c
t
g
x
1
−
x
2
{\displaystyle \mathrm {arcctg} \,{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arcsin
x
=
{\displaystyle \arcsin x=}
π
2
−
arccos
x
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos x}
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin x}
a
r
c
t
g
x
1
−
x
2
{\displaystyle \mathrm {arctg} \,{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
a
r
c
c
t
g
1
−
x
2
x
{\displaystyle \mathrm {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
a
r
c
t
g
x
=
{\displaystyle \mathrm {arctg} \,x=}
arccos
1
1
+
x
2
{\displaystyle \arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
arcsin
x
1
+
x
2
{\displaystyle \arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
a
r
c
t
g
x
{\displaystyle \mathrm {arctg} \,x}
a
r
c
c
t
g
1
x
{\displaystyle \mathrm {arcctg} \,{\frac {1}{x}}}
a
r
c
c
t
g
x
=
{\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x=}
arccos
x
1
+
x
2
{\displaystyle \arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
arcsin
1
1
+
x
2
{\displaystyle \arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
a
r
c
t
g
1
x
{\displaystyle \mathrm {arctg} \,{\frac {1}{x}}}
a
r
c
c
t
g
x
{\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x}
Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій
ред.
Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій
sin
[
arccos
(
x
)
]
=
1
−
x
2
{\displaystyle \sin[\arccos(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,}
t
g
[
arcsin
(
x
)
]
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle \mathrm {tg} [\arcsin(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
sin
[
a
r
c
t
g
(
x
)
]
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \sin[\mathrm {arctg} (x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
t
g
[
arccos
(
x
)
]
=
1
−
x
2
x
{\displaystyle \mathrm {tg} [\arccos(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
cos
[
a
r
c
t
g
(
x
)
]
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \cos[\mathrm {arctg} (x)]={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
c
t
g
[
arcsin
(
x
)
]
=
1
−
x
2
x
{\displaystyle \mathrm {ctg} [\arcsin(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
cos
[
arcsin
(
x
)
]
=
1
−
x
2
{\displaystyle \cos[\arcsin(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,}
c
t
g
[
arccos
(
x
)
]
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle \mathrm {ctg} [\arccos(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Додавання обернених тригонометричних функцій
ред.
Нехай
x
,
y
{\displaystyle x,y}
такі, що
|
x
|
≤
1
,
|
y
|
≤
1
{\displaystyle |x|\leq 1,|y|\leq 1}
, тоді
arcsin
(
x
)
+
arcsin
(
y
)
=
(
−
1
)
ε
arcsin
(
x
1
−
y
2
+
y
1
−
x
2
)
+
ε
π
,
ε
=
{
0
,
x
y
≤
0
,
sgn
x
,
x
y
>
0
,
{\displaystyle \arcsin(x)+\arcsin(y)=(-1)^{\varepsilon }\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{{\begin{matrix}0,&xy\leq 0,\\\operatorname {sgn} x,&xy>0,\end{matrix}}\right.}
{\displaystyle \quad }
arccos
(
x
)
+
arccos
(
y
)
=
(
−
1
)
ε
arccos
(
x
y
−
1
−
y
2
1
−
x
2
)
+
ε
π
,
ε
=
{
0
,
x
+
y
≥
0
,
1
,
x
+
y
<
0
,
{\displaystyle \arccos(x)+\arccos(y)=(-1)^{\varepsilon }\arccos \left(xy-{\sqrt {1-y^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{{\begin{matrix}0,&x+y\geq 0,\\1,&x+y<0,\end{matrix}}\right.}
{\displaystyle \quad }
a
r
c
t
g
(
x
)
+
a
r
c
t
g
(
y
)
=
arctg
(
x
+
y
1
−
x
y
)
+
ε
π
,
ε
=
{
−
1
,
x
y
<
1
,
0
,
x
y
=
1
,
1
,
x
y
>
1.
{\displaystyle \mathrm {arctg} (x)+\mathrm {arctg} (y)=\operatorname {arctg} \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{{\begin{array}{ll}-1,&xy<1,\\0,&xy=1,\\1,&xy>1.\end{array}}\right.}
Розв'язок найпростіших тригонометричних рівнянь
ред.
sin
x
=
a
{\displaystyle \operatorname {sin} x=a}
.
Якщо
|
a
|
>
1
{\displaystyle |a|>1}
— дійсних розв'язків не існує.
Якщо
|
a
|
≤
1
{\displaystyle |a|\leq 1}
— розв'язком є число виду
x
=
(
−
1
)
n
arcsin
a
+
π
n
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;n\in \mathbb {Z} }
.
cos
x
=
a
{\displaystyle \operatorname {cos} x=a}
.
Якщо
|
a
|
>
1
{\displaystyle |a|>1}
— розв'язків нема.
Якщо
|
a
|
≤
1
{\displaystyle |a|\leq 1}
— розв'язком є число виду
x
=
±
arccos
a
+
2
π
n
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=\pm \arccos a+2\pi n;n\in \mathbb {Z} }
.
tg
x
=
a
{\displaystyle \operatorname {tg} x=a}
.
Розв'язком є число виду
x
=
arctg
a
+
π
n
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=\operatorname {arctg} a+\pi n;n\in \mathbb {Z} }
.
ctg
x
=
a
{\displaystyle \operatorname {ctg} x=a}
.
Розв'язком є число виду
x
=
arcctg
a
+
π
n
;
n
∈
Z
{\displaystyle x=\operatorname {arcctg} a+\pi n;n\in \mathbb {Z} }
.
Розв'язок найпростіших тригонометричних нерівностей
ред.
Вид нерівності
Множина розв'язків,
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
sin
x
>
a
(
|
a
|
⩽
1
)
{\displaystyle \sin x>a\quad (|a|\leqslant 1)}
x
∈
(
arcsin
a
+
2
π
n
,
π
−
arcsin
a
+
2
π
n
)
{\displaystyle x\in (\arcsin a+2\pi n,\,\pi -\arcsin a+2\pi n)}
sin
x
<
a
(
|
a
|
⩽
1
)
{\displaystyle \sin x<a\quad (|a|\leqslant 1)}
x
∈
(
−
π
−
arcsin
a
+
2
π
n
,
arcsin
a
+
2
π
n
)
{\displaystyle x\in (-\pi -\arcsin a+2\pi n,\,\arcsin a+2\pi n)}
cos
x
>
a
(
|
a
|
⩽
1
)
{\displaystyle \cos x>a\quad (|a|\leqslant 1)}
x
∈
(
−
arccos
a
+
2
π
n
,
arccos
a
+
2
π
n
)
{\displaystyle x\in (-\arccos a+2\pi n,\,\arccos a+2\pi n)}
cos
x
<
a
(
|
a
|
⩽
1
)
{\displaystyle \cos x<a\quad (|a|\leqslant 1)}
x
∈
(
arccos
a
+
2
π
n
,
2
π
−
arccos
a
+
2
π
n
)
{\displaystyle x\in (\arccos a+2\pi n,\,2\pi -\arccos a+2\pi n)}
t
g
x
>
a
{\displaystyle \mathrm {tg} \,x>a}
x
∈
(
a
r
c
t
g
a
+
π
n
,
π
2
+
π
n
)
{\displaystyle x\in \left(\mathrm {arctg} \,a+\pi n,\,{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)}
t
g
x
<
a
{\displaystyle \mathrm {tg} \,x<a}
x
∈
(
−
π
2
+
π
n
,
a
r
c
t
g
a
+
π
n
)
{\displaystyle x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,\mathrm {arctg} \,a+\pi n\right)}
c
t
g
x
>
a
{\displaystyle \mathrm {ctg} \,x>a}
x
∈
(
π
n
,
a
r
c
c
t
g
a
+
π
n
)
{\displaystyle x\in (\pi n,\,\mathrm {arcctg} \,a+\pi n)}
c
t
g
x
<
a
{\displaystyle \mathrm {ctg} \,x<a}
x
∈
(
a
r
c
t
g
a
+
π
n
,
π
n
)
{\displaystyle x\in (\mathrm {arctg} \,a+\pi n,\,\pi n)}
Одна корисна нерівність
ред.
Для довільного
x
{\displaystyle x}
з інтервалу
[
−
π
/
2
,
π
/
2
]
{\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}
виконуються такі нерівності:
2
π
|
x
|
⩽
|
sin
(
x
)
|
⩽
|
x
|
.
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}|x|\leqslant |{\sin(x)}|\leqslant |x|.}
Універсальна тригонометрична підстановка
ред.
Тотожності мають зміст лише тоді, коли існують обидві частини (тобто при
α
≠
π
+
2
π
n
{\displaystyle \alpha \neq \pi +2\pi n}
).
sin
α
=
2
tg
α
2
1
+
tg
2
α
2
,
cos
α
=
1
−
tg
2
α
2
1
+
tg
2
α
2
,
sec
α
=
1
+
tg
2
α
2
1
−
tg
2
α
2
;
{\displaystyle \operatorname {sin} \alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \operatorname {cos} \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \sec \alpha ={\frac {1+\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}};}
tg
α
=
2
tg
α
2
1
−
tg
2
α
2
,
ctg
α
=
1
−
tg
2
α
2
2
tg
α
2
,
csc
α
=
1
+
tg
2
α
2
2
tg
α
2
.
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{2\operatorname {tg} \displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \csc \alpha ={\frac {1+\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\displaystyle 2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}.}
Допоміжний аргумент (метод Юніса)
ред.
a
sin
x
±
b
cos
x
=
a
2
+
b
2
sin
(
x
±
arcsin
b
a
2
+
b
2
)
,
{\displaystyle a\sin x\pm b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin \left(x\pm \arcsin {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right),}
a
cos
x
±
b
sin
x
=
a
2
+
b
2
cos
(
x
∓
arccos
a
a
2
+
b
2
)
,
{\displaystyle a\cos x\pm b\sin x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos \left(x\mp \arccos {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right),}
b
+
a
t
g
(
x
)
=
a
2
+
b
2
sin
(
x
+
a
r
c
t
g
(
b
/
a
)
)
cos
x
,
{\displaystyle b+a\mathrm {tg} (x)={\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\mathrm {arctg} (b/a))}{\cos x}},}
a
+
b
c
t
g
(
x
)
=
a
2
+
b
2
sin
(
x
+
a
r
c
t
g
(
b
/
a
)
)
sin
x
.
{\displaystyle a+b\mathrm {ctg} (x)={\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\mathrm {arctg} (b/a))}{\sin x}}.}
Перші дві формули можуть бути узагальненими
∑
i
=
1
n
a
i
sin
(
x
+
δ
i
)
=
a
sin
(
x
+
δ
)
,
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\sin(x+\delta _{i})=a\sin(x+\delta ),}
де
a
2
=
∑
i
,
j
=
1
n
a
i
a
j
cos
(
δ
i
−
δ
j
)
,
δ
=
a
r
c
t
g
∑
i
=
1
n
a
i
sin
δ
i
∑
i
=
1
n
a
i
cos
δ
i
.
{\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}a_{j}\cos(\delta _{i}-\delta _{j}),\qquad \delta =\mathrm {arctg} \,{\frac {\sum _{i=1}^{n}a_{i}\sin \delta _{i}}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cos \delta _{i}}}.}
Зв'язок з комплексною екпонентою
ред.
e
i
x
=
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
,
i
2
=
−
1
,
{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x),\,\,i^{2}=-1,}
— формула Ейлера ,
Експоненційне зображення тригонометричних функцій та обернених їм
ред.
Функція
Обернена функція
sin
θ
=
e
i
θ
−
e
−
i
θ
2
i
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,}
arcsin
x
=
−
i
ln
(
i
x
+
1
−
x
2
)
{\displaystyle \arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}
cos
θ
=
e
i
θ
+
e
−
i
θ
2
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,}
arccos
x
=
i
ln
(
x
−
i
1
−
x
2
)
{\displaystyle \arccos x=i\,\ln \left(x-i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}
tg
θ
=
e
i
θ
−
e
−
i
θ
i
(
e
i
θ
+
e
−
i
θ
)
{\displaystyle \operatorname {tg} \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,}
arctg
x
=
i
2
ln
(
i
+
x
i
−
x
)
{\displaystyle \operatorname {arctg} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,}
csc
θ
=
2
i
e
i
θ
−
e
−
i
θ
{\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,}
arccsc
x
=
−
i
ln
(
i
x
+
1
−
1
x
2
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\ln \left(\displaystyle {\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)\,}
sec
θ
=
2
e
i
θ
+
e
−
i
θ
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,}
arcsec
x
=
−
i
ln
(
1
x
+
1
−
i
x
2
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\ln \left(\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {i}{x^{2}}}}}\right)\,}
ctg
θ
=
i
(
e
i
θ
+
e
−
i
θ
)
e
i
θ
−
e
−
i
θ
{\displaystyle \operatorname {ctg} \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,}
arcctg
x
=
i
2
ln
(
x
−
i
x
+
i
)
{\displaystyle \operatorname {arcctg} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,}
Числові співвідношення
ред.
sin
2
(
18
∘
)
+
sin
2
(
30
∘
)
=
sin
2
(
36
∘
)
,
{\displaystyle \sin ^{2}(18^{\circ })+\sin ^{2}(30^{\circ })=\sin ^{2}(36^{\circ }),\,}
sin
20
∘
⋅
sin
40
∘
⋅
sin
80
∘
=
3
8
,
{\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}},}
cos
36
∘
+
cos
108
∘
=
1
2
,
{\displaystyle \cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }={\frac {1}{2}},}
cos
24
∘
+
cos
48
∘
+
cos
96
∘
+
cos
168
∘
=
1
2
,
{\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}},}
cos
(
2
π
21
)
+
cos
(
2
⋅
2
π
21
)
+
cos
(
4
⋅
2
π
21
)
+
cos
(
5
⋅
2
π
21
)
+
cos
(
8
⋅
2
π
21
)
+
cos
(
10
⋅
2
π
21
)
=
1
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}},\end{aligned}}}
cos
20
∘
⋅
cos
40
∘
⋅
cos
80
∘
=
1
8
,
{\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},}
∏
k
=
1
n
−
1
sin
(
k
π
n
)
=
n
2
n
−
1
,
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}},}
∏
k
=
1
n
−
1
cos
(
k
π
n
)
=
sin
(
π
n
/
2
)
2
n
−
1
,
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {\sin(\pi n/2)}{2^{n-1}}},}
∏
k
=
1
n
−
1
t
g
(
k
π
n
)
=
n
sin
(
π
n
/
2
)
,
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\mathrm {tg} \,\left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{\sin(\pi n/2)}},}
∏
k
=
1
m
t
g
(
k
π
2
m
+
1
)
=
2
m
+
1
,
{\displaystyle \prod _{k=1}^{m}\mathrm {tg} \,\left({\frac {k\pi }{2m+1}}\right)={\sqrt {2m+1}},}
∏
k
=
1
n
sin
(
(
2
k
−
1
)
π
4
n
)
=
∏
k
=
1
n
cos
(
(
2
k
−
1
)
π
4
n
)
=
2
2
n
,
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}\right)=\prod _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}\right)={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}},}
π
4
=
4
a
r
c
t
g
1
5
−
a
r
c
t
g
1
239
,
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\mathrm {arctg} \,{\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} \,{\frac {1}{239}},}
π
4
=
5
a
r
c
t
g
1
7
+
2
a
r
c
t
g
3
79
.
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\mathrm {arctg} \,{\frac {1}{7}}+2\mathrm {arctg} \,{\frac {3}{79}}.}
sin
(
π
4
+
α
)
=
cos
(
π
4
−
α
)
,
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right),}
sin
(
π
4
−
α
)
=
cos
(
π
4
+
α
)
,
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right),}
t
g
(
α
+
β
2
)
=
sin
α
+
sin
β
cos
α
+
cos
β
=
−
cos
α
−
cos
β
sin
α
−
sin
β
,
{\displaystyle \mathrm {tg} \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }},}
1
±
tg
α
=
2
sin
(
π
4
±
α
)
cos
α
,
{\displaystyle 1\pm \operatorname {tg} \alpha ={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\pm \alpha \right)}{\cos \alpha }},}
1
±
ctg
α
=
2
sin
(
π
4
±
α
)
sin
α
,
{\displaystyle 1\pm \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\pm \alpha \right)}{\sin \alpha }},}
t
g
(
α
)
+
sec
(
α
)
=
tg
(
α
2
+
π
4
)
.
{\displaystyle \mathrm {tg} (\alpha )+\sec(\alpha )=\operatorname {tg} \left({\alpha \over 2}+{\pi \over 4}\right).}
c
t
g
(
α
)
+
tg
(
α
2
)
=
csc
(
α
)
,
{\displaystyle \mathrm {ctg} (\alpha )+\operatorname {tg} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\csc(\alpha ),}
tg
α
=
sin
2
α
cos
2
α
+
1
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha +1}},}
tg
5
α
=
tg
α
⋅
tg
(
π
5
+
α
)
⋅
tg
(
π
5
−
α
)
⋅
tg
(
2
π
5
+
α
)
⋅
tg
(
2
π
5
−
α
)
.
{\displaystyle \operatorname {tg} 5\alpha =\operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}-\alpha \right).}
tg
7
α
=
tg
α
⋅
tg
(
π
7
+
α
)
⋅
tg
(
π
7
−
α
)
⋅
tg
(
2
π
7
+
α
)
⋅
tg
(
2
π
7
−
α
)
⋅
tg
(
3
π
7
+
α
)
⋅
tg
(
3
π
7
−
α
)
.
{\displaystyle \operatorname {tg} 7\alpha =\operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}-\alpha \right).}
cos
(
α
)
+
2
cos
(
2
α
)
+
3
cos
(
3
α
)
+
⋯
=
∑
k
=
1
n
k
cos
(
k
α
)
=
n
sin
(
α
2
)
sin
(
(
2
n
+
1
)
α
2
)
−
2
sin
2
(
n
α
2
)
2
sin
2
(
α
2
)
{\displaystyle \cos(\alpha )+2\cos(2\alpha )+3\cos(3\alpha )+\cdots =\sum _{k=1}^{n}k\cos(k\alpha )={\frac {\displaystyle n\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {(2n+1)\alpha }{2}}\right)-2\sin ^{2}\left({\frac {n\alpha }{2}}\right)}{\displaystyle 2\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}}
∑
k
=
1
n
1
2
k
tg
(
α
2
k
)
=
1
2
n
ctg
(
α
2
n
)
−
ctg
α
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{k}}}\operatorname {tg} \left({\frac {\alpha }{2^{k}}}\right)={\frac {1}{2^{n}}}\operatorname {ctg} \left({\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)-\operatorname {ctg} \alpha }
cos
(
α
)
cos
(
α
2
)
⋅
cos
(
α
4
)
⋯
=
∏
n
=
0
∞
cos
(
α
2
n
)
=
sin
2
α
2
α
.
{\displaystyle \cos(\alpha )\cos \left({\alpha \over 2}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 4}\right)\cdots =\prod \limits _{n=0}^{\infty }\cos \left({\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)={\frac {\sin 2\alpha }{2\alpha }}.}
cos
(
α
2
)
⋅
cos
(
α
4
)
⋅
cos
(
α
8
)
⋯
=
∏
n
=
1
∞
cos
(
α
2
n
)
=
sin
α
α
{\displaystyle \cos \left({\alpha \over 2}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 4}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\alpha \over 2^{n}}\right)={\sin \alpha \over \alpha }}
∏
k
=
0
n
cos
(
2
k
α
)
=
sin
(
2
n
+
1
α
)
2
n
+
1
sin
α
.
{\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{n}\cos \left(2^{k}\alpha \right)={\frac {\sin \left(2^{n+1}\alpha \right)}{2^{n+1}\sin \alpha }}.}
∏
k
=
0
n
cos
(
α
2
k
)
=
sin
2
α
2
n
+
1
sin
(
α
2
n
)
.
{\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{n}\cos \left({\frac {\alpha }{2^{k}}}\right)={\frac {\sin 2\alpha }{2^{n+1}\sin \left(\displaystyle {\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)}}.}
∏
k
=
1
n
cos
(
α
2
k
)
=
sin
α
2
n
sin
(
α
2
n
)
.
{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\alpha }{2^{k}}}\right)={\frac {\sin \alpha }{2^{n}\sin \left(\displaystyle {\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)}}.}
|
sin
x
|
=
1
2
∏
n
=
0
∞
|
tg
(
2
n
x
)
|
2
n
+
1
.
{\displaystyle |{\sin x}|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt[{2^{n+1}}]{\left|\operatorname {tg} \left(2^{n}x\right)\right|}}.}
Див. також
ред.
Література
ред.
Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — Москва : Наука, 1979. — 832 с.
Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Москва : Физматгиз, 1963. — 1100 с.