Відкрити головне меню

Список тригонометричних тотожностей

стаття-список у проекті Вікімедіа

Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями, що виконуються для всіх значень аргумента зі спільної області визначення.

Зміст

Основні позначенняРедагувати

КутиРедагувати

В цій статті кути позначаються грецькими буквами   і т. д. Величину кута найчастіше задають в градусах або радіанах:

1 повне коло  = 360 градусів = 2  радіан  

В наступній таблиці наведено спвівідношення між значеннями в градусах і радіанах для деяких кутів

Градуси 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°
Радіани                
Градуси 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Радіани                

Якщо не сказано інакше, то всі кути вважаються заданими у радіанах, а кути, що закінчуються символом (°) — в градусах.

Тригонометричні функціїРедагувати

У статті будуть наведені співвідношення та тотожності для шести основних тригонометричних функцій:

  • синус  
  • косинус  
  • тангенс  


  • котангенс  


  • секанс  


  • косеканс  

В англомовній літературі тангенс та котангенс зазвичай позначають   та   відповідно.

Обернені тригонометричні функціїРедагувати

Обернені тригонометричні функції це такі функції, композиція яких зі звичайними тригонометричними функціями дає тотожне відображення. Наприклад, функція обернена до синуса, відома як обернений синус (sin−1) чи арксинус (arcsin or asin), задовольняє співвідношення

 

та

 

Тригонометричні функції та обернені до них наведені в наступній таблиці:

Функція sin cos tg ctg sec csc
Обернена arcsin arccos arctg arcctg arcsec arccsc

Екзотичні тригонометричні функціїРедагувати

Крім основних шести, також використовуються інші тригонометричні функції кута. Їх використовували раніше при розв'язуванні різних навігаційних задач, однак з розвитком обчислювальної техніки вони втратили свою актуальність.

Назва Скорочене позн. Значення
синус-верзус  
 
 
 
косинус-верзус    
коверсинус  
 
 
коверкосинус    
гаверсинус    
гаверкосинус    
когаверсинус    
когаверкосинус    
ексеканс    
екскосеканс    
хорда    

Таблиці значень тригонометричних функційРедагувати

Значення тригонометричних функцій для найпоширеніших значень кутів (в радіанах)
                   
                     
                     
                     
                     

В тих точках, де значення тангенса та котангенса прямують до нескінченності знак залежить від того з якого боку до цієї точки ми підходимо.

Для тангенса — якщо справа, то  , а якщо зліва, то  . Для котангенса навпаки.

Значення тригонометричних функцій для деяких кутів
           
             
             

Основні тригонометричні формулиРедагувати

Основні формули
  (1)
  (2)
  (3)

Формула (1) є наслідком теореми Піфагора (Тригонометрична тотожність Піфагора). Формули (2) і (3) добуваються діленням формули (1) на   та   відповідно.

Співвідношення між основними тригонометричними функціямиРедагувати

Кожна з тригонометричних функцій виражена через п'ять інших.
           
             
             
             
             
   
         
             

Формули зведенняРедагувати

Сукупність формул, що відображають симетрію тригонометричних функцій відносно певних значень кутів, перетворення при зсуві аргументу на деякий кут, а також періодичність тригонометричних функцій.

СиметріяРедагувати

Виконуються наступні співвідношення:

Симетрія відносно кута   Симетрія відносно  
(співвідношення між ко-функціями)
Симетрія відносно  
     

Зсув та періодичністьРедагувати

Співвідношення часто використовуються для спрощення обчислень.

Зсув на π/2 Зсув на π
Період tg і ctg
Зсув на 2π
Період sin, cos, csc і sec
     

Формули для суми аргументівРедагувати

 
Візуалізація формули (6)
Формули для суми аргументів
  (5)
  (6)
  (7)
 

Формула (7) отримується діленням (5) на (6).

Синус і косинус від нескінченної сумиРедагувати

 
 

У правих частинах рівності сума береться по всіх підмножинах натуральних чисел з 2k+1 чи 2k елементів відповідно.

Тангенси від сум аргументівРедагувати

Нехай   — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних

 

Наприклад:

 
 
 
 

Тоді

 
 

Наприклад:

 

і так далі.

Секанс і косеканс від суми аргументівРедагувати

 

де ek — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних (дивись пункт тангенси від сум аргументів)

 

Наприклад,

 

Формули подвійного кутаРедагувати

Формули подвійного кута виводяться із формул (5), (6) і (7), якщо прийняти, що кут β рівний α:

Формули подвійного кута
  (23)
  (24)
  (25)
 

Формули потрійного кутаРедагувати

Формули потрійного кута
 
 
 
 

Формули кратних кутівРедагувати

Формули кратних кутів
 
 
 
 

де   — ціла частина числа  ,   — біноміальний коефіцієнт.

Ітераційні формулиРедагувати

 
 
 
 

З використанням спеціальних многочленівРедагувати

Мають місце такі співвідношення:

 

де   — поліном Чебишова першого роду степеня n.

Представлення у вигляді скінченних добутківРедагувати

 


 


 

Формули половинного кутаРедагувати

Формули половинного кута
 
 
 
 

Знак перед виразом обирається у відповідності з тим, до якого квадранту належить кут  .

Формули пониження степеняРедагувати

Формули пониження степеня виводяться з формул подвійного кута:

Синус Косинус Інше
     
     
     
     

Загальні формули пониження степеняРедагувати

Загальні формули пониження степеня
 
 
 
 

де   — біноміальний коефіцієнт.

Формули перетворення добутків функційРедагувати

Формули перетворення добутків функцій
  (28)
  (29)
  (30)
 
  (31)
  (32)
  (33)
  (34)

Формули перетворення суми функційРедагувати

Формули перетворення суми функцій
  (35)
  (36)
  (37)
  (38)
  (39)
  (40)
  (41)
  (42)
  (43)
  (43)

Загальні сумиРедагувати

  •  


  •  


  •  


  •  


  •  


  •  


  •  
  •  


Якщо ж   таке, що  , то при   отримуємо

  •  

Ядро Діріхле та ядро ФейєраРедагувати

Сума виду

 

називається ядром Діріхле.

А функція

 

називається ядром Фейєра

 ,

Вони використовуються при сумуванні рядів Фур'є.

Представлення через нескінченні добуткиРедагувати

 

Співвдношення за додаткових обмежень на значення кутівРедагувати

  • Нехай
 

тоді

 
 
 


 
 
 


 
 


 
 


Зауважимо, що наведені вище співвідношення справджуються, якщо   — кути деякого трикутника.


  • Нехай
 

тоді

 


  • Нехай
 

тоді

 

Обернені тригонометричні функціїРедагувати

 
 
 
Зв'язок між оберненими тригонометричними функціями для x>0
       
         
         
         
         


Поєднання тригонометричних та обернених їм функційРедагувати

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій
   
   
   
   

Додавання обернених тригонометричних функційРедагувати

Нехай   такі, що  , тоді

 
 
 
 
 

Розв'язок найпростіших тригонометричних рівняньРедагувати

  •  .
Якщо   — дійсних розв'язків не існує.
Якщо   — роз'язком є число виду  .
  •  .
Якщо   — розв'язків нема.
Якщо   — роз'язком є число виду  .
  •  .
Розв'язком є число виду  .
  •  .
Розв'язком є число виду  .

Розв'язок найпростіших тригонометричних нерівностейРедагувати

Вид нерівності Множина розв'язків,  
   
   
   
   
   
   
   
   

Одна корисна нерівністьРедагувати

Для довільного   з інтервалу   виконуються такі нерівності:

 

Універсальна тригонометрична підстановкаРедагувати

Тотожності мають зміст лише тоді, коли існують обидві частини (тобто при  ).

  •  


  •  

Допоміжний аргумент (метод Юніса)Редагувати

 

 

 

 

Перші дві формули можуть бути узагальненими

 

де

 

Зв'язок з комплексною екпонентоюРедагувати

  — формула Ейлера,

Експоненційне представлення тригонометричних функцій та обернених їмРедагувати

Функція Обернена функція
   
   
   
   
   
   

Числові співвідношенняРедагувати

 
 
 
 
 
 
 


 


 


 


 


 


 

РізнеРедагувати