Список тригонометричних тотожностей

стаття-список у проєкті Вікімедіа

Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями, що виконуються для всіх значень аргумента зі спільної області визначення.

Основні позначення ред.

Кути ред.

В цій статті кути позначені грецькими буквами   і т. д. Величину кута найчастіше задають в градусах або радіанах:

1 повне коло  = 360 градусів = 2  радіан  

В наступній таблиці наведено спвівідношення між значеннями в градусах і радіанах для деяких кутів

Градуси 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°
Радіани                
Градуси 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Радіани                

Якщо не сказано інакше, то всі кути задано у радіанах, а кути, що закінчуються символом (°) — в градусах.

Тригонометричні функції ред.

У статті будуть наведені співвідношення та тотожності для шести основних тригонометричних функцій:

  • синус  
  • косинус  
  • тангенс  


  • котангенс  


  • секанс  


  • косеканс  

В англомовній літературі тангенс та котангенс зазвичай позначають   та   відповідно.

Обернені тригонометричні функції ред.

Обернені тригонометричні функції це такі функції, композиція яких зі звичайними тригонометричними функціями дає тотожне відображення. Наприклад, функція обернена до синуса, відома як обернений синус (sin−1) або арксинус (arcsin or asin), задовольняє співвідношення

 

та

 

Тригонометричні функції та обернені до них наведені в наступній таблиці:

Функція sin cos tg ctg sec csc
Обернена arcsin arccos arctg arcctg arcsec arccsc

Екзотичні тригонометричні функції ред.

Крім основних шести, також використовують інші тригонометричні функції кута. Їх використовували раніше при розв'язуванні різних навігаційних задач, однак з розвитком обчислювальної техніки вони втратили свою актуальність.

Назва Скорочене позн. Значення
синус-верзус  
 
 
 
косинус-верзус    
коверсинус  
 
 
коверкосинус    
гаверсинус    
гаверкосинус    
когаверсинус    
когаверкосинус    
ексеканс    
екскосеканс    
хорда    

Таблиці значень тригонометричних функцій ред.

Значення тригонометричних функцій для найпоширеніших значень кутів (в радіанах)
                   
                     
                     
                     
                     

В тих точках, де значення тангенса та котангенса прямують до нескінченності знак залежить від того з якого боку до цієї точки ми підходимо.

Для тангенса — якщо справа, то  , а якщо зліва, то  . Для котангенса навпаки.

Значення тригонометричних функцій для деяких кутів
           
             
             

Основні тригонометричні формули ред.

Основні формули
  (1)
  (2)
  (3)

Формула (1) є наслідком теореми Піфагора (Тригонометрична тотожність Піфагора). Формули (2) і (3) добуваються діленням формули (1) на   та   відповідно.

Співвідношення між основними тригонометричними функціями ред.

Кожна з тригонометричних функцій виражена через п'ять інших.
           
             
             
             
             
   
         
             

Формули зведення ред.

Сукупність формул, що відображають симетрію тригонометричних функцій відносно певних значень кутів, перетворення при зсуві аргументу на деякий кут, а також періодичність тригонометричних функцій.

Симетрія ред.

Виконуються такі співвідношення:

Симетрія відносно кута   Симетрія відносно  
(співвідношення між ко-функціями)
Симетрія відносно  
     

Зсув та періодичність ред.

Співвідношення часто використовують для спрощення обчислень.

Зсув на π/2 Зсув на π
Період tg і ctg
Зсув на 2π
Період sin, cos, csc і sec
     

Формули для суми аргументів ред.

 
Візуалізація формули (6)
Формули для суми аргументів
  (5)
  (6)
  (7)
 

Формула (7) отримана діленням (5) на (6).

Синус і косинус від нескінченної суми ред.

 
 

У правих частинах рівності суму взято по всіх підмножинах натуральних чисел з 2k+1 або 2k елементів відповідно.

Тангенси від сум аргументів ред.

Нехай   — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних

 

Наприклад:

 
 
 
 

Тоді

 
 

Наприклад:

 

і так далі.

Секанс і косеканс від суми аргументів ред.

 

де ek — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних (дивись пункт тангенси від сум аргументів)

 

Наприклад,

 

Формули подвійного кута ред.

Формули подвійного кута виведені з формул (5), (6) і (7), якщо взяти кут β рівним α:

Формули подвійного кута
  (23)
  (24)
  (25)
 

Формули потрійного кута ред.

Формули потрійного кута
 
 
 
 

Формули кратних кутів ред.

Формули кратних кутів
 
 
 
 

де   — ціла частина числа  ,   — біноміальний коефіцієнт.

Ітераційні формули ред.

 
 
 
 

З використанням спеціальних многочленів ред.

Мають місце такі співвідношення:

 

де   — поліном Чебишова першого роду степеня n.

Зображення у вигляді скінченних добутків ред.

 


 


 

Формули половинного кута ред.

Формули половинного кута
 
 
 
 

Знак перед виразом обрано відповідно до того, до якого квадранту належить кут  .

Формули пониження степеня ред.

Формули пониження степеня виведені з формул подвійного кута:

Синус Косинус Інше
     
     
     
     

Загальні формули пониження степеня ред.

Загальні формули пониження степеня
 
 
 
 

де   — біноміальний коефіцієнт.

Формули перетворення добутків функцій ред.

Формули перетворення добутків функцій
  (28)
  (29)
  (30)
 
  (31)
  (32)
  (33)
  (34)

Формули перетворення суми функцій ред.

Формули перетворення суми функцій
  (35)
  (36)
  (37)
  (38)
  (39)
  (40)
  (41)
  (42)
  (43)
  (43)

Загальні суми ред.

  •  

  •  

  •  


  •  


  •  


  •  


  •  
  •  


Якщо ж   таке, що  , то при   отримуємо

  •  

Ядро Діріхле та ядро Феєра ред.

Сума виду

 

називається ядром Діріхле.

А функція

 

називається ядром Феєра

 ,

Вони використані при сумуванні рядів Фур'є.

Зображення через нескінченні добутки ред.

 

Співвдношення за додаткових обмежень на значення кутів ред.

  • Нехай
 

тоді

 
 
 


 
 
 


 
 


 
 


Зауважимо, що наведені вище співвідношення справджуються, якщо   — кути деякого трикутника.


  • Нехай
 

тоді

 


  • Нехай
 

тоді

 

Обернені тригонометричні функції ред.

 
 
 
Зв'язок між оберненими тригонометричними функціями для x>0
       
         
         
         
         


Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій ред.

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій
   
   
   
   

Додавання обернених тригонометричних функцій ред.

Нехай   такі, що  , тоді

 
 
 
 
 

Розв'язок найпростіших тригонометричних рівнянь ред.

  •  .
Якщо   — дійсних розв'язків не існує.
Якщо   — розв'язком є число виду  .
  •  .
Якщо   — розв'язків нема.
Якщо   — розв'язком є число виду  .
  •  .
Розв'язком є число виду  .
  •  .
Розв'язком є число виду  .

Розв'язок найпростіших тригонометричних нерівностей ред.

Вид нерівності Множина розв'язків,  
   
   
   
   
   
   
   
   

Одна корисна нерівність ред.

Для довільного   з інтервалу   виконуються такі нерівності:

 

Універсальна тригонометрична підстановка ред.

Тотожності мають зміст лише тоді, коли існують обидві частини (тобто при  ).

  •  


  •  

Допоміжний аргумент (метод Юніса) ред.

 

 

 

 

Перші дві формули можуть бути узагальненими

 

де

 

Зв'язок з комплексною екпонентою ред.

  — формула Ейлера,

Експоненційне зображення тригонометричних функцій та обернених їм ред.

Функція Обернена функція