Оператор Дірака

Оператор Дірака — загальна назва диференціальних операторів, які є квадратними коренями деякого оператора другого порядку, найчастіше оператора Лапласа і його аналогів.

Тобто оператор $D$ є оператором Дірака для даного оператора другого порядку $\Delta$, якщо

$D^{2}=\Delta .$

У фізиці високих енергій ця вимога часто послаблюється: передбачається тільки, що головна частина $D^{2}$ збігається з $\Delta$.

Приклад

• $D=-i\cdot \partial _{x}$ є оператором Дірака на дотичному розшаруванні над прямою.
• Для диференціальних форм на рімановому многовиді оператор Дірака можна визначити як

$D=\sum _{i}e_{i}\bullet \nabla _{e_{i}},$

де $e_{i}$ — ортонормований репер у точці, $\nabla$ — зв'язність, а $\bullet$ — множення Кліфорда. Його квадрат

$D^{2}=\sum _{i,j}e_{i}\bullet e_{j}\bullet \nabla _{e_{i},e_{j}}^{2}$

називається лапласіаном Дірака; для функцій він збігається з оператором Лапласа — Бельтрамі, але він також визначений на формах усіх степенів.

Література

• H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989.