Оператор Лапласа — Бельтрамі

диференціальний оператор другого порядку

Опера́тор Лапла́са — Бельтра́мі (називають іноді оператором Бельтра́мі — Лапла́са або просто оператором Бельтра́мі)- диференціальний оператор другого порядку, що діє в просторі гладких (або аналітичних) функцій на рімановому многовиді .

У координатах де оператор Лапласа — Бельтрамі задають так. Нехай  — матриця метричного тензора ріманового многовиду,  — обернена матриця і , тоді оператор Лапласа — Бельтрамі має вигляд

Приклади ред.

  • У разі, коли   — область в евклідовому просторі зі стандартною метрикою   — одинична матриця, оператор Лапласа-Бельтрамі (*) перетворюється (з точністю до знака) на оператор Лапласа.
  • Нехай   і метричний тензор має вигляд   тоді формула (*) набуває вигляду
     
  • Диференціальне рівняння з частковими похідними другого порядку   де оператор   задано формулою (**), можна розв'язати, якщо функції   аналітичні або досить гладкі. Цей факт використовується для доведення існування локальних ізометричних (конформних) координат на поверхні  , тобто доведення того, що кожен двовимірний ріманів многовид локально конформно еквівалентний евклідовій площині.[1]

Примітки ред.

  1. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), гл. 2, параграф 13.

Література ред.

  • Розенблюм Г. В., Соломяк М. З., Шубин М. А. Спектральная теория дифференциальных операторов, — Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 64, ВИНИТИ, М., 1989.
  • Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, — М., Мир, 1984.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Будь-яке видання.