Вторинне квантування ферміонів

Вторинне квантування ферміонів  — математичний метод опису системи частинок, що складається із ферміонів. В представленні чисел заповнення автоматично враховується властивість тотожності частинок та необхідна симетрія хвильової функції відносно перестановок частинок.

Як відомо, для системи ферміонів справедливий принцип Паулі, згідно з яким у кожному одночастинковому стані не може перебувати більш ніж один ферміон. Дослідження системи однакових ферміонів можна почати з найпростішого випадку системи, яка містить ферміонів малої енергії, що не взаємодіють між собою.

Припустимо, що стан руху окремого ферміона в деякому зовнішньому полі, яке породжується іншими частинками, (наприклад, атомними ядрами в атомах чи молекулах), визначається оператором Гамільтона , де - сукупність просторовох та спінових змінних. Нехай та відповідно власні значення та власні функції оператора . Індекс характеризує всі квантові числа, які визначають одночастинкові стани. Повний гамільтоніан в координатному представленні буде:

.

Хвильова функція в тому ж представленні є антисиметричною функцією , яка залежить від змінних, - сукупність просторових та спінових змінних ї частинки.

В представленні чисел заповнення стан системи визначається вказуванням числа частинок у кожному одночастинковому стані. Нехай оператор числа частинок в стані має вигляд:

.

Для того, щоб цей оператор описував стани системи ферміонів, він повинен згідно з принципом Паулі мати тільки два власні значення: 0 та 1. Тому в представленні чисел заповнення ермітовий оператор зображається діагональною матрицею

.

Необхідно відзначити, що оператор числа частинок в системі бозонів визначався нескінченною матрицею, а дві власні функції оператора числа частинок, які належать відповідно до власних значень 0 та 1, мають вигляд:

Можна припустити, що оператор є оператором зменшення числа частинок в стані на одиницю, тоді як за визначенням:

.

Таким чином, в представленні з діагональним оператором оператор визначається неермітовою матрицею:

,

а ермітово спряжений оператор до :

має таку властивість, що:

,

з чого випливає, що оператор збільшує на одиницю число частинок в стані , якщо в цьому стані не було частинок, і перетворює в нуль функцію, яка відповідає стану з одною частинкою. Із цих визначень випливають перестановочні співвідношення для введених операторів, які ми будемо називати «фермі-операторами»:

де фігурні дужки використовуються для позначення антикомутатора двох операторів:

Порядок розташування операторів в антикомутаторі не має значення, , тому дія операторів та може бути оберненою.

Оператори та визначаються приведеними вище матрицями не повністю. Необхідно ще вказати зв'язок цих операторів з операторами та для інших станів. Можна вважати, за аналогією з випадком Бозе-частинок, що співвідношення типу виконуються для всіх операторів, крім операторів та (для кожного стану ), для якого . Іншими словами, необхідно вимагати, щоб оператори задовольняли умови:

де

-

символ Кронекера. Подібні співвідношення приводять до правильного опису систем ферміонів.

ІсторіяРедагувати

Вперше операторний метод розгляду квантових систем з великою кількістю однакових часток був запропонований Діраком в 1927 році.

Широку популярність даний метод отримав після того, як Боголюбов в 1958 році використав його для презентації формальної моделі Бардіна-Купера-Шріффера для опису процесів надпровідності.

В 1989 році Якимаха використав цей метод для опису квантових явищ в МДН-транзисторах, які працюють в режимах сильної та надсильної інверсії.

Слід відзначити, що повний метод використання формалізму Дірака в квантовій механіці здійснив Вільям Луїзелл в 1973 році (за допомогою використання віртуальних LC — контурів). В рамках даного методу опису квантових явищ можна зрозуміти всі процеси, що протікають в мікроскопічних об'єктах природи. Слід також відзначити, що це перша книга по квантовій механіці, написана в системі СІ.

Можливе майбутнєРедагувати

Операторний формалізм Дірака-...- Луїзелла претендує на альтернативний опис "Квантової електродинаміки" (кому подобається - "Квантової теорії поля", з елементарними частками включно). На сьогодні він широко використовується в квантовому комп'ютінгу (завдяки Деворету).

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Давидов О. С. Квантова механіка. — К. : Академперіодика, 2012. — 706 с.
  • Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. — М. : Мир, 1978. — Т. 1. — 408 с.
  • Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. — М. : Наука, 1986. — 320 с.
  • Ван Хьеу Н. Основы метода вторичного квантования. — М. : Энергоатомиздат, 1984. — 208 с.
  • Кузьмичёв В. Е. Законы и формулы физики. — К. : Наукова думка, 1989. — 864 с.
  • Боголюбов Н.Н., Толмачев Д.В. и Ширков Д.В. Новый метод в теории сверхпроводимости. — М. : Изд. АН СССР, 1958.
  • Румер Ю.Б.,Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. — М. : Изд. Наука, 1977. — 552 с.
  • Якимаха А.Л. Высокотемпературные квантовые гальваномагнитные эффекты в двумерных инверсионных слоях МДП- транзисторов. — К. : Вища школа, 1989. — 91 с.
  • Louisell W.H. Quantum Statistical Properties of Radiation. — New York : Wiley, 1973. — 528 с.
  • Петрина Д.Я. Квантовая теория поля. — К. : Вища школа, 1984. — 248 с.
  • Mishel H. Devoret. Quantum fluctuation in Electrical Circuits. Course 10. — Amsterdam. : Elsevier Science, 1997. — 351-386 с.