Оператор (фізика)

функція на просторі фізичних станів

Оператор у квантовій механіці — це лінійне відображення, яке діє на хвильову функцію, яка є комплекснозначною функцією, що дає найбільш повний опис стану системи. Оператори позначаються великими латинськими літерами з циркумфлексом угорі. Наприклад:

Оператор діє на функцію, яка стоїть праворуч від нього (кажуть також, що він застосовується до функції або множиться на функцію):

У квантовій механіці використовується математична властивість лінійних самоспряжених (ермітових) операторів, яка полягає в тому, що кожен з них має власні вектори і власні дійсні значення. Вони виступають у ролі відповідних даному оператору значень фізичних величин.

Арифметичні операції над операторамиРедагувати

  • оператор   називається сумою (різницею) операторів  , якщо для будь-якої функції   з області визначення всіх трьох операторів виконано умову:

 

  • оператор   називається добутком операторів  , Якщо для будь-якої функції   виконано умову:

 

В загальному випадку

 

якщо  , то кажуть, що оператори   комутують. Комутатор операторів визначається як

 

Власні значення і власні функції оператораРедагувати

Якщо має місце рівність:

 

то   називають власним значенням оператора  , а функцію   — власною функцією оператора   яка відповідає цьому власному значенню. Найчастіше в оператора є множина власних значень:   Множина всіх власних значень називається спектром оператора.

Лінійні і самоспряжені операториРедагувати

Оператор   називається лінійним, якщо для будь-якої пари   виконується умова:

 

Оператор   називається самоспряженим (ермітовим), якщо для будь-яких   виконується умова:

 

При цьому сума самоспряжених операторів є самоспряженим оператором. Добуток самоспряжених операторів є самоспряженим оператором, якщо вони комутують. Власні значення самоспряжених операторів завжди дійсні. Власні функції самоспряжених операторів, що відповідають різним власним значенням, ортогональні.

Оператори, які використовуються у квантовій фізиціРедагувати

Основними характеристиками фізичної системи у квантовій фізиці є спостережувані величини і стани.

У квантовій фізиці спостережуваним величинам зіставляються лінійні самоспряжені оператори в комплексному сепарабельному гільбертовому просторі, станам — класи нормованих елементів цього простору (з нормою 1). Це робиться переважно з двох причин:

  • Власні значення самоспряжених операторів, що відповідають конкретним значенням фізичних величин, є дійсними числами, тобто тим, з чим на практиці мають справу експериментатори (покази приладів, результати обчислень тощо).
  • Одна й та сама квантова частинка може перебувати одночасно у множині квантових станах, які й характеризуються множиною власних значень відповідного оператора. Це може бути скінченна множина (дискретний спектр значень), інтервал (неперервний спектр значень) або змішана множина.

У квантовій фізиці існує «нестроге» правило для побудови оператора фізичних величин: співвідношення між операторами в цілому таке ж, як між відповідними класичними величинами. Ґрунтуючись на цьому правилі, було введено такі оператори (в координатному поданні):

 

Дія оператора координат полягає у множенні на вектор координат.

 

Тут   — уявна одиниця,   — оператор набла.

 

тут   — стала Дірака,   — оператор Лапласа.

 

Дія оператора тут зводиться до множення на функцію.

 

 

Такий вигляд було обрано також з причин, пов'язаних з теоремою Нетер і групою SO(3)

У найважливішому випадку спіну 1/2 оператор спіну має вигляд:  , де

 ,  ,   — так звані матриці Паулі. Цей вигляд аналогічний попередньому, але пов'язаний з групою SU(2).

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика[ru]», в 10 т., т. 3, «Квантовая механика (нерелятивистская теория)», 5-е изд., Москва, Физматлит, 2002, 808 с., ISBN 5-9221-0057-2 (т. 3);
  2. «Функциональный анализ», изд. 2, перер. и дополн. (серия «Справочная математическая библиотека»,) коллектив авторов, ред. С. Г. Крейн, Москва, «Наука», 1972, 517.2 Ф 94 УДК 517.4(083, 544 с., гл. 9 «Операторы квантовой механики», с. 423—455;