Картина Гейзенберга — один із методів опису квантовомеханічних явищ. Ідея методу полягає в тому, що залежність від часу переноситься з хвильових функцій на оператори фізичних величин, на відміну від картини Шредінгера , де залежність від часу закладається до хвильових функцій. Така картина дає явну залежність операторів від часу, а хвильові функції залишаються сталими.
Перехід до картини Гейзенберга
ред.
Якщо ввести унітарний оператор еволюції
U
^
(
t
,
0
)
{\displaystyle {\hat {U}}(t,0)}
|
ψ
(
t
)
⟩
=
U
^
(
t
,
0
)
|
ψ
(
0
)
⟩
,
{\displaystyle |\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t,0)|\psi (0)\rangle ,}
то можна записати середнє значення деякого оператора
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
|
ψ
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\psi (t)\rangle }
⟨
A
^
⟩
=
⟨
ψ
(
t
)
|
A
^
|
ψ
(
t
)
⟩
=
⟨
ψ
(
0
)
|
U
^
†
(
t
,
0
)
A
^
U
^
(
t
,
0
)
|
ψ
(
0
)
⟩
≡
⟨
ψ
(
0
)
|
A
^
H
(
t
)
|
ψ
(
0
)
⟩
.
{\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\langle \psi (t)|{\hat {A}}|\psi (t)\rangle =\langle \psi (0)|{\hat {U}}^{\dagger }(t,0){\hat {A}}{\hat {U}}(t,0)|\psi (0)\rangle \equiv \langle \psi (0)|{\hat {A}}_{H}(t)|\psi (0)\rangle .}
Таким чином, залежність від часу переноситься з хвильової функції на оператор:
A
^
H
(
t
)
=
U
^
†
(
t
,
0
)
A
^
U
^
(
t
,
0
)
{\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)={\hat {U}}^{\dagger }(t,0){\hat {A}}{\hat {U}}(t,0)}
Рівняння руху для операторів
ред.
Якщо записати рівняння Шредінгера:
i
ℏ
∂
|
ψ
(
t
)
⟩
∂
t
=
H
^
|
ψ
(
t
)
⟩
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \left|\psi (t)\right\rangle }{\partial t}}={\hat {H}}\left|\psi (t)\right\rangle }
і вважати, що гамільтоніан
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
U
^
(
t
)
=
e
−
i
H
^
t
ℏ
.
{\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}}.}
Далі, якщо взяти повну похідну від оператора
A
^
H
(
t
)
{\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)}
d
A
^
H
(
t
)
d
t
=
∂
A
^
H
(
t
)
∂
t
+
i
ℏ
H
^
e
i
H
^
t
ℏ
A
^
e
−
i
H
^
t
ℏ
−
i
ℏ
e
i
H
^
t
ℏ
A
^
e
−
i
H
^
t
ℏ
H
^
=
∂
A
^
H
(
t
)
∂
t
+
i
ℏ
H
^
A
^
H
(
t
)
−
i
ℏ
A
^
H
(
t
)
H
^
.
{\displaystyle {\frac {d{\hat {A}}_{H}(t)}{dt}}={\frac {\partial {\hat {A}}_{H}(t)}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}e^{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}{\hat {A}}e^{-{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}}-{\frac {i}{\hbar }}e^{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}{\hat {A}}e^{-{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}}{\hat {H}}={\frac {\partial {\hat {A}}_{H}(t)}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}{\hat {A}}_{H}(t)-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {A}}_{H}(t){\hat {H}}.}
Остаточно, якщо записати отриманий вираз через комутатор , маємо рівняння руху для операторів:
i
ℏ
d
A
^
H
(
t
)
d
t
=
i
ℏ
∂
A
^
H
(
t
)
∂
t
+
[
A
^
H
(
t
)
,
H
^
]
.
{\displaystyle i\hbar {\frac {d{\hat {A}}_{H}(t)}{dt}}=i\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{H}(t)}{\partial t}}+[{\hat {A}}_{H}(t),{\hat {H}}].}
Якщо оператор
A
^
H
{\displaystyle {\hat {A}}_{H}}
i
ℏ
d
A
^
H
d
t
=
[
A
^
H
,
H
^
]
,
{\displaystyle i\hbar {\frac {d{\hat {A}}_{H}}{dt}}=[{\hat {A}}_{H},{\hat {H}}],}
звідки можна зробити такий висновок: якщо оператор фізичної величини, який явно не залежить від часу, комутує з гамільтоніаном
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
Див. також
ред.
Література
ред.
Вакарчук І. О. Мессиа А. Квантовая механика. — 
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d{\hat {A}}_{H}(t)}{dt}}=i\hbar {\frac {\partial {\hat {A}}_{H}(t)}{\partial t}}+[{\hat {A}}_{H}(t),{\hat {H}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6162805d5217419f57dcd176dea542811b399920)
![{\displaystyle i\hbar {\frac {d{\hat {A}}_{H}}{dt}}=[{\hat {A}}_{H},{\hat {H}}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f5e47fe19516e7ab7bb68bc81ae47ae4b2258f)