Функція Гамільтона

Функція Гамільтона (або Гамільтоніан) ${\mathcal {H}}(q_{i},p_{i},t)\,$ визначається через узагальнені координати $q_{i}\,$ і узагальнені імпульси $p_{i}\,$ виходячи з функції Лагранжа ${\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)\,$ наступним чином.

Функція Гамільтона
Названо на честь	Вільям Ровен Гамільтон
Розмірність	${\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {T}}^{-2}$
Формула	$H=\sum p_{i}{\dot {q}}_{i}-L$
Позначення у формулі	$H$, $p_{i}$, ${\dot {q}}_{i}$ і $L$
Символ величини (LaTeX)	$H$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Рекомендована одиниця вимірювання	джоуль

Узагальнені імпульси визначаються, як

$p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$.

Функція Гамільтона визначається згідно з

${\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\mathcal {L}}$. Фактично, це є перетворення Лежандра лагранжіана.

Після цього всі узагальнені швидкості ${\dot {q}}_{i}$ d ${\mathcal {H}}$ виражаються через узагальнені імпульси й координати.

За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.

У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил

${\mathcal {H}}=T+V\,$,

тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.

Див. також

• Гамільтоніан
• Лагранжіан

Література

• Л. Д. Ландау, Є. М. Ліфшиць, Л. П. Пітаєвський, В. Б. Берестецький, Л. М. Пятігорський. Теоретична фізика. — 2025.(укр.)