Відкрити головне меню
Ортогональні поліноми
Ерміта
Відкриті Шарлем Ермітом в 1864 році
Формула
Диференціальне рівняння
Визначені на
Вага
Норма
Примітки В фізиці часто використовуються поліноми Ерміта, визначені як


Поліноми Ерміта (англ. Hermite polynomials) — ортогональні поліноми, що використовуються в теорії ймовірностей, математичній фізиці при розв'язку рівняння дифузії, чисельному аналізі та квантовій механіці (як власні функції квантового гармонічного осцилятора). Названі на честь французького математика Шарля Ерміта, який ввів[1] їх в 1864 році.

Зміст

ВизначенняРедагувати

 
Графіки поліномів Ерміта порядку  

Поліномами Ерміта називається послідовність поліномів  , , що задовільняють співвідношенню:
 ,
з якого випливає
 .
Таке означення здебільшого використовується в теорії ймовірностей. У фізиці (здебільшого в квантовій механіці) використовують наступне означення:
 .
Зв'язок між «фізичними» та «ймовірностними» поліномами Ерміта здійснюється через наступне рівняння:

 .
В цій статті будуть використовуватися «ймовірностні» поліноми (якщо не зазначено інше).

Явні вирази перших одинадцяти поліномів Ерміта мають такий вигляд:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Загальний вираз для поліномів Ерміта має вигляд  

ВластивостіРедагувати

Поліном   містить члени лише тієї ж парності, що й саме число  :

 .

При   мають місце такі співвідношення:

 .

Рівняння   має   дійсних коренів, що є попарно симетричними відносно початку системи координат і модуль жодного з них не перевищує величини  . Корені полінома   чергуються з коренями полінома  .

Поліном   можна представити у вигляді визначника матриці  :

 

Формула додаванняРедагувати

Має місце наступна формула додавання поліномів Ерміта:

 

Частковими випадками такої формули є такі:

  •  ,  . Тоді
 .
  •  ,  ,  . Тоді
 .

Диференціювання та рекурентні співвідношенняРедагувати

Похідна  -ого порядку від полінома Ерміта  ,   також є поліномом Ерміта:
 
звідки випливає співвідошення для першої похідної
 
та рекурентне співвідношення між трьома послідовними поліномами:

 

ОртогональністьРедагувати

Поліноми Ерміта утворюють повну ортогональну систему на інтервалі   з вагою  :

 ,

де   — дельта-символ Кронекера.

Важливим наслідком ортогональності поліномів Ерміта є можливість розкладу різних функцій в ряди по поліномах Ерміта. Для будь-якого невід'ємного цілого   справедливий запис

 

З нього випливає зв'язок між коефіцієнтами розкладу функції в ряд Маклорена   та коефіцієнтами розкладу цієї ж функції по поліномах Ерміта,  , що носять назву співвідношень Нільса Нільсона:

 

Наприклад, розклад функції Куммера матиме такий вигляд:

 

де   — узагальнена гіпергеометрична функція другого порядку,   — гамма-функція.

Розклад функцій, що містять експоненту.

Для будь-якої функції, що записується як суперпозиція експонент   можна записати наступний розклад по поліномах Ерміта:
 

Зокрема розклади відомих гіперболічних та тригонометричних функцій мають вигляд

 
 

ПовнотаРедагувати

Формула Кристоффеля-Дарбу для поліномів Ерміта має вигляд

 

Більш того, наступна формула справджується і для узагальнений функцій[2]

 

де δ — дельта-функція Дірака, (ψn) функції Ерміта. Ця узагальнена формула слідує якщо покласти u → 1 у формулі Мелера, дійсній при −1 < u < 1:

 

яку можна еквівалентно записати так

 

Функція (xy) → E(xyu) є густиною для міри Гауса на R2 яка є, коли u прямує до 1, дуже сконцентрованою біля лінії y = x, і сильно спадає поза нею. Тому

 

коли ƒ, g є неперервними функціями на компактному носії. Це приводить до того, що ƒ може бути виражена через функції Ерміта у вигляді суми ряду векторів з L2(R), тобто

 

Щоб довести вищенаведену рівність для E(xyu), треба декілька разів використати Фур'є перетворення функції Гауса,

 

Поліноми Ерміта можуть бути представлення у вигляді

 

З цим представленням для Hn(x) і Hn(y), можна бачити що

 

а це приводить до потрібного результату, якщо скористатися формулою перетворення Фур'є Гаусового ядра після виконання підстановки

 

Диференціальні рівнянняРедагувати

Поліноми Ерміта   є розв'язками лінійного диференціального рівняння:

 

Якщо   є цілим числом, то загальний розв'язок вищенаведеного рівняння записується як

 ,

де   — довільні сталі, а функції   називаються функціями Ерміта другого роду. Ці функції не зводяться до поліномів і їх можна виразити лише за допомогою трансцендентних функцій   та  .

ПредставленняРедагувати

Поліноми Ерміта допускають такі представлення:

 

де   — контур, що охоплює початок координат.

Інше представлення має вигляд:

 .

Зв'язок з іншими спеціальними функціямиРедагувати

  • Зв'язок з функцією Куммера:
     
  • Зв'язок з поліномами Лаґерра:
     

ЗастосуванняРедагувати

 .
Розв'язками цього рівняння є власні функції осцилятора, що відповідають власним значенням  . Нормовані на одиницю вони записуються як
 .
Зазначимо, що в даному виразі використовуються саме «фізичні» поліноми Ерміта  .
  • Поліноми Ерміта використовуються в розв'язку одновимірного рівняння теплопровідності   на нескінченному інтервалі. Це рівняння має розв'язок у вигляді експоненційної функції  . Оскільки таку функцію можна представити у вигляді розкладу по поліномах Ерміта, а з іншого боку вона може бути розкладена в ряд Тейлора по  :
 ,
то функції  , що є розв'язками рівняння теплопровідності і задовільняють початковій умові  , виражаються через поліноми Ерміта наступним чином:
 .
Для отримання останньої рівності було використано інтеграл Пуасона-Фур'є.

ПриміткиРедагувати

  1. Hermite C. Sur un nouveau développement en série de fonctions. // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris. — 1864. — Т. 58. — С. 93-100; 266-273., передруковано також в C. Hermite (1908). Oeuvres complètes (французька). tome 2. Paris. с. 293–308. 
  2. Wiener, 1958

ЛітератураРедагувати

  • Abramowitz, Milton & Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4.
  • Wiener, Norbert (1958). The Fourier Integral and Certain of its Applications. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60272-9. 
  • Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1962). A Course of Modern Analysis. London: Cambridge University Press. 
  • Ж. Кампе де Ферье; Р. Кемпбелл, Г. Петьо, Т. Фогель (1963). IX. Функции математической физики (російська). Москва: Физматгиз. с. 62–70. 

Зовнішні посиланняРедагувати