Вагова функція

Вагова функція — спеціальна математична конструкція, яка використовується при підсумовуванні, інтегруванні чи усередненні, щоб надати більшої «ваги» певним елементам в кінцевому результаті порівняно з іншими елементами. Потреба у введені таких функцій часто виникає в статистиці та математичному аналізі. Поняття вагової функції тісно пов'язане з теорією міри. Вагові функції можуть використовуватись як із дискретними, так і з неперервними величинами.

Дискретний випадок

Дискретна вагова функція $w:A\to {\mathbb {R} }^{+}$ — невід'ємна функція, визначена на дискретній множині значень $A$, яка зазвичай скінченна або зліченна. Одинична вагова функція $w(a):=1$ відповідає звичайному, незваженому випадку, коли всі елементи мають однакову вагу.

Нехай задано деякий набір дійсних значень, які занумеровані елементами множини $A$:

$\{f(a),a\in A\}.$

Тоді звичайна незважена сума елементів $f(a)$ по множині $A$ визначається як

$S=\sum _{a\in A}f(a).$

У зваженій сумі з вагою $w$, ми кожному елементу $f(a)$ надаємо відповідну вагу $w(a)$, домножуючи його на значення ваги, і тоді зважена сума визначається таким чином:

$S_{w}=\sum _{a\in A}f(a)w(a).$

Незваженим середнім значенням по скінченній множині $A$ називається сума вигляду

${\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)$,

де $|A|$ — потужність множини $A$, тобто кількість її елементів.

У зваженому середньому потужність $|A|$ замінюють на зважену потужність, суму ваг всіх елементів

$\sum _{a\in A}w(a).$

Зважене середнє арифметичне у такому випадку визначається як

${\bar {f}}={\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.$

Застосування

Термін вагова функція виник з механіки: при обчисленні цента мас системи з $n$ точкових тіл з масами $w_{1},\ldots ,w_{n}$, центри мас яких розміщенні в точках з координатами ${\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$ центр мас системи буде розміщений в точці з координатами

${\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$,

яку можна інтерпретувати як середнє зважене координат ${\boldsymbol {x}}_{i}$.

Найпоширеніші області застосування зважених сум — чисельне інтегрування та цифрова фільтрація сигналів.

Зважені суми використовуються у задачах багатокритеріальної оптимізації для переходу від декількох часткових критеріїв оптимальності до єдиного інтегрального критерію, який часто є зваженою сумою часткових критеріїв.

Також широко застосовуються у економіко-математичних методах аналізу даних та задачах машинного навчання.

Зважене середнє часто використовується у статистиці для компенсації похибок в оцінках. Нехай, для істинного значення $f$, отримано незалежно один від одного декілька значень $f_{i}$ з дисперсіями $\sigma _{i}^{2}$, тоді найкраще наближення істинного значення отримуємо як середнє зважене часткових результатів з вагами $w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}$: дисперсія так отриманого наближення буде меншою за кожну з часткових дисперсій $\sigma ^{2}=1/\sum w_{i}$. Також застосовується в методі максимальної правдоподібності.

Неперервний випадок

У випадку неперервних величин, вагова функція — міра $w(x)dx$ задана в деякій області $\Omega$. Міру, в певному сенсі, можна вважати узагальненням поняття вагової функції.

У випадку якщо $\Omega$ є підмножиною евклідового простору ${\mathbb {R} }^{n}$, то під $dx$ розуміють міру Лебега на ${\mathbb {R} }^{n}$, а $w:\Omega \to \mathbb {R} ^{+}$ — невід'ємна функція. В даному контексті вагова функція $w(x)$ часто розуміється як густина.

Нехай $f:\Omega \to {\mathbb {R} }$ — дійснозначна функція, то окрім незваженого інтеграла

$\int _{\Omega }f(x)\ dx$

можна розглядати зважений інтеграл

$\int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx.$

Оскільки за означенням інтеграл

$\mathrm {vol} (E):=\int _{E}1\ dx,\quad E\subset \Omega ,$

виступає як об'єм множини $E$, то можна ввести поняття зваженого об'єму

$\mathrm {vol} _{w}(E):=\int _{E}w(x)\ dx$

та, відповідно, зваженого середнього значення функції $f$ по множині $E$:

${\frac {\int _{\Omega }f(x)\ w(x)dx}{\int _{\Omega }w(x)\ dx}}={\frac {1}{\mathrm {vol} _{w}(E)}}\int _{\Omega }f(x)w(x)dx.$

Введення вагової функції дозволяє узагальнити поняття інтеграла, як границі відповідної зваженої суми. Такі узагальнення інтеграла часто використовують у статистиці, теорії випадкових процесів, теорії стохастичних диференціальних рівнянь.

У випадку, коли міра є дискретною, ми отримуємо попередній дискретний випадок — всі інтеграли замінюються підсумовуванням.

Скалярний добуток

Нехай $f:\Omega \to {\mathbb {R} }$ та $g:\Omega \to {\mathbb {R} }$ — дві задані функції. Тоді крім звичайного скалярного добутку

$\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx$

можна розглядати зважений скалярний добуток

$\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ w(x)dx.$

Прикладами зважених ортогональних функцій (у просторі $L^{2}$) є ортогональні поліноми і пов'язані з ними функції, а також ряд інших спеціальних функцій.

Див. також

• Центр мас
• Ортогональність
• Середнє зважене
• Ядро (статистика)
• Теорія міри
• Інтеграл Стілтьєса

Література

• Виноградов И.М. Математическая энциклопедия. — М. : Сов. энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 662.

• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М. : Наука, 1974. — Т. 2. — 296 с.

Посилання

• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Weight [Архівовано 28 березня 2020 у Wayback Machine.]