Поліноми Лаґерра

Поліноми Лаґерра — ортогональні поліноми, названі на честь французького математика Едмона Лаґерра.

Визначення

Поліномами Лаґерра називаються канонічні розв'язки диференційного рівняння

$x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,$

що є лінійним диференційним рівнянням другого порядку і має несингулярний розв'язок лише для невід'ємних цілих n. Для даних поліномів справедлива також явна формула Родрігеса:

$L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right).$

Поліноми Лаґерра можна задати рекурсивно. Для цього слід взяти:

$L_{0}(x)=1\,$

$L_{1}(x)=1-x\,$

і визначити наступні поліноми за допомогою формули:

$L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}\left((2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)\right).$

Приклади

Прикладами поліномів Лаґерра найменших степенів є:

n	$L_{n}(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+1\,$
2	${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,$
3	${\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,$
4	${\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,$
5	${\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,$
6	${\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,$

Графіки поліномів Лаґерра.

Узагальнені поліноми Лаґерра

Узагальненими поліномами Лаґерра називаються поліноми визначені за допомогою узагальненої формули Родрігеса:

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha }e^{-x}/\Gamma (1+\alpha )&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.$

Тоді звичайні поліноми Лаґерра є окремим випадком:

$E\left[L_{n}(X)L_{m}(X)\right]=0\ {\mbox{whenever}}\ n\neq m.$

Узагальнений поліном Леґерра степеня $n$ також можна визначити за допомогою формули $L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}$

Також виконуються рекурентні співвідношення:

$L_{n}^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y),$

Зокрема

$L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)$ і $L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L_{i}^{(\beta )}(x)$, або $L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L_{i}^{(\beta -i)}(x);$

Приклади

Прикладами узагальнених поліномів Лаґерра найменших степенів є:

$L_{0}^{(\alpha )}(x)=1$

$L_{1}^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1$

$L_{2}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}$

$L_{3}^{(\alpha )}(x)={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}$

Ортогональність

Узагальнені поліноми Лаґерра є ортогональними на проміжку [0, ∞) з вагою x^α e ^−x:

$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m},$

Для звичайних поліномів Лаґерра виконується рівність:

$\langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.$

Література

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
• B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
• Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial [Архівовано 25 лютого 2010 у Wayback Machine.]", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• George Arfken and Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.
• S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.