Відкрити головне меню

Перетворення Лапла́саінтегральне перетворення, що пов'язує функцію комплексної змінної (зображення) з функцією дійсної змінної (оригінал). За його допомогою досліджують властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.

Однією з особливостей перетворення Лапласа, які зумовили його широке поширення в наукових і інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналам відповідають простіші співвідношення між їхніми зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.

ВизначенняРедагувати

Пряме перетворення ЛапласаРедагувати

Перетворенням Лапласа функції дійсної змінної  , називається функція   комплексної змінної  , така що:

 

Права частина цього виразу називається інтегралом Лапласа.

Обернене перетворення ЛапласаРедагувати

Оберненим перетворенням Лапласа функції комплексної змінної  , називається функція   дійсної змінної, така що:

 

де   — деяке дійсне число. Права частина цього виразу називається інтегралом Бромвіча.

Двостороннє перетворення ЛапласаРедагувати

Двостороннє перетворення Лапласа визначається наступним чином:

 

Дискретне перетворення ЛапласаРедагувати

Розрізняють  -перетворення і  -перетворення.

  •  -перетворення

Нехай   — дискретна функція, тобто значення даної функції визначені тільки в дискретні моменти часу  , де   — ціле число, а   — період дискретизації.
Тоді застосовуючи перетворення Лапласа одержуємо:
 

  •  -перетворення

Якщо використати наступну заміну змінних:
 ,
одержимо Z-перетворення:
 

ВластивостіРедагувати

  • Абсолютна збіжність

Якщо інтеграл Лапласа є абсолютно збіжним при  , тобто існує границя

 ,

то він є збіжним абсолютно і рівномірно для   і  аналітична функція при   (  — дійсна частина комплексної змінної  ). Точна нижня грань   множини чисел  , при яких ця умова виконується, називається абсцисою абсолютної збіжності перетворення Лапласа для функції  .

  • Достатні умови існування прямого перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа   існує в сенсі абсолютної збіжності в наступних випадках:

  1. Випадок  : перетворення Лапласа існує, якщо існує інтеграл  
  2. Випадок  : перетворення Лапласа існує, якщо інтеграл   існує для кожного скінченного   и   для  
  3. Випадок   або   (яка із границь більша): перетворення Лапласа існує,якщо існує перетворення Лапласа для функції   (похідна до  ) для  .
  • Достатані умови існування оберненого перетворення Лапласа

1. Якщо  аналітична функція для   і має порядок менше −1, то обернене перетворення для неї існує і є неперервним для всіх значень аргумента, причому   для  

2. Нехай  , так щоб   аналітична відносно кожного   і рівна нулю для  , і  , тоді обернене перетворення існує і відповідне пряме перетворення має абсцису абсолютної збіжності.

  • Теорема про згортку

Перетворенням Лапласа згортки двох оригіналів є добуток зображень цих оригіналів.

 
  • Множення зображень

 

Ліва частина цього виразу називається інтегралом Дюамеля.

  • Диференціювання і інтегрування оригіналу

Для перетворення Лапласа від похідної функції виконується рівність:

 

Для похідної  -го порядку:

 

Перетворення Лапласа від інтеграла функції дорівнює:

 
  • Дифренціювання та інтегрування зображення

Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:

 

Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:

 
  • Запізнення оригіналів і зображень. Граничні теореми

Запізнення зображень:

 
 

Запізнення оригіналів:

 
 

де  Функція Хевісайда.

  • Інші властивості

Лінійність

 

Множення на число

 

Пряме і обернене перетворення Лапласа деяких функційРедагувати

Функція Часова область
 
Частотна область
 
Область збіжності
1 ідеальне запізнення    
1a одиничний імпульс      
2 запізнення n-го порядку з частотним зсувом      
2a степенева n-го порядку      
2a.1 степенева q-го порядку      
2a.2 одинична функція      
2b одинична функція з запізненням      
2c «сходинка швидкості»      
2d n-го порядку з частотним зсувом      
2d.1 експоненційне затухання      
3 експоненційне наближення      
4 синус      
5 косинус      
6 гіперболічний синус      
7 гіперболічний косинус      
8 експоненційно затухаючий
синус
     
9 експоненційно затухаючий
косинус
     
10 корінь n-го порядку      
11 натуральний логарифм      
12 функція Бесселя
першого роду
порядку n
     
 
13 модифікована функція Бесселя
першого роду
порядку n
     
14 функція Бесселя
другого роду
нульового порядку
     
15 модифікована функція Бесселя
другого роду,
нульового порядку
     
16 функція помилок      
Примітки до таблиці:

Застосування перетворення ЛапласаРедагувати

Перетворення Лапласа широко використовується в математиці, фізиці і техніці.

ЛітератураРедагувати

  • Ван-дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа.-М., ИЛ, 1952
  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961
  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1974.-542 с.
  • Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М., ИЛ, 1948
  • Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964
  • Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.-М., Наука, 1964.-103 с.
  • Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956
  • Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1980.-336 с.

Інтернет-ресурсиРедагувати

Див. такожРедагувати