Перетворення Лапласа
Перетворення Лапла́са — інтегральне перетворення, що пов'язує функцію комплексної змінної (зображення) з функцією дійсної змінної (оригінал). За його допомогою досліджують властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння.
Однією з особливостей перетворення Лапласа, які зумовили його широке поширення в наукових і інженерних розрахунках, є те, що багатьом співвідношенням і операціям над оригіналами відповідають простіші співвідношення між їхніми зображеннями. Так, згортка двох функцій зводиться в просторі зображень до операції множення, а лінійні диференціальні рівняння стають алгебраїчними.
Означення
ред.Пряме перетворення Лапласа
ред.Перетворенням Лапласа функції дійсної змінної , називається функція комплексної змінної , така що:
Права частина цього виразу називається інтегралом Лапласа.
Обернене перетворення Лапласа
ред.Оберненим перетворенням Лапласа функції комплексної змінної , називається функція дійсної змінної, така що:
де — деяке дійсне число. Права частина цього виразу називається інтегралом Бромвіча.
Двостороннє перетворення Лапласа
ред.Двостороннє перетворення Лапласа визначається таким чином:
Дискретне перетворення Лапласа
ред.Розрізняють -перетворення і -перетворення.
- -перетворення
Нехай — дискретна функція, тобто значення цієї функції визначені тільки в дискретні моменти часу , де — ціле число, а — період дискретизації.
Тоді, застосовуючи перетворення Лапласа, одержуємо:
- -перетворення
Якщо використати наведену заміну змінних:
,
одержимо Z-перетворення:
Властивості
ред.- Абсолютна збіжність
Якщо інтеграл Лапласа є абсолютно збіжним при , тобто існує границя
- ,
то він є збіжним абсолютно і рівномірно для і — аналітична функція при ( — дійсна частина комплексної змінної ). Точна нижня грань множини чисел , при яких ця умова виконується, називається абсцисою абсолютної збіжності перетворення Лапласа для функції .
- Достатні умови існування прямого перетворення Лапласа
Перетворення Лапласа існує в сенсі абсолютної збіжності в наступних випадках:
- Випадок : перетворення Лапласа існує, якщо існує інтеграл
- Випадок : перетворення Лапласа існує, якщо інтеграл існує для кожного скінченного и для
- Випадок або (яка із границь більша): перетворення Лапласа існує,якщо існує перетворення Лапласа для функції (похідна до ) для .
- Достатані умови існування оберненого перетворення Лапласа
1. Якщо — аналітична функція для і має порядок менше −1, то обернене перетворення для неї існує і є неперервним для всіх значень аргумента, причому для
2. Нехай , так щоб аналітична відносно кожного і рівна нулю для , і , тоді обернене перетворення існує і відповідне пряме перетворення має абсцису абсолютної збіжності.
- Теорема про згортку
Перетворенням Лапласа згортки двох оригіналів є добуток зображень цих оригіналів.
- Множення зображень
Ліва частина цього виразу називається інтегралом Дюамеля.
- Диференціювання і інтегрування оригіналу
Для перетворення Лапласа від похідної функції виконується рівність:
Для похідної -го порядку:
Перетворення Лапласа від інтеграла функції дорівнює:
- Дифренціювання та інтегрування зображення
Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:
Обернене перетворення Лапласа від похідної функції дорівнює:
- Запізнення оригіналів і зображень. Граничні теореми
Запізнення зображень:
Запізнення оригіналів:
де — Функція Гевісайда.
- Інші властивості
Множення на число
Пряме і обернене перетворення Лапласа деяких функцій
ред.№ | Функція | Часова область |
Частотна область |
Область збіжності |
---|---|---|---|---|
1 | ідеальне запізнення | |||
1a | одиничний імпульс | |||
2 | запізнення n-го порядку з частотним зсувом | |||
2a | степенева n-го порядку | |||
2a.1 | степенева q-го порядку | |||
2a.2 | одинична функція | |||
2b | одинична функція з запізненням | |||
2c | «сходинка швидкості» | |||
2d | n-го порядку з частотним зсувом | |||
2d.1 | експоненційне затухання | |||
3 | експоненційне наближення | |||
4 | синус | |||
5 | косинус | |||
6 | гіперболічний синус | |||
7 | гіперболічний косинус | |||
8 | експоненційно затухаючий синус |
|||
9 | експоненційно затухаючий косинус |
|||
10 | корінь n-го порядку | |||
11 | натуральний логарифм | |||
12 | функція Бесселя першого роду порядку n |
| ||
13 | модифікована функція Бесселя першого роду порядку n |
|||
14 | функція Бесселя другого роду нульового порядку |
|||
15 | модифікована функція Бесселя другого роду, нульового порядку |
|||
16 | функція помилок | |||
Примітки до таблиці:
|
Застосування перетворення Лапласа
ред.Перетворення Лапласа широко використовується в математиці, фізиці і техніці.
- Розв'язок систем диференціальних і інтегральних рівнянь — за допомогою перетворення Лапласа легко переходити від складних понять математичного аналізу до простіших алгебраїчних відношень.
- Розрахунок вихідних сигналів динамічних систем в теорії управління і обробці сигналів.
- Розрахунок електричних схем за допомогою операторного методу.
- Розв'язок нестаціонарних задач математичної фізики.
Література
ред.- Ван-дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа.-М., ИЛ, 1952
- Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961
- Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1974.-542 с.
- Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М., ИЛ, 1948
- Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964
- Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.-М., Наука, 1964.-103 с.
- Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956
- Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1980.-336 с.