Відкрити головне меню

Визначник Вронського (Вронськіан) — визначник, складений із функцій та похідних. Використовується в теорії диференціальних рівнянь.

Для n фукнцій визначник Вронського будується з використанням похідних до n-1 порядку.

Для лінійно залежних функцій визначник Вронського дорівнює нулю.


Зміст

Для лінійного диференційного рівняння другого порядкуРедагувати

Для однорідного лінійного диференційного рівняння другого порядку у формі

 

визначник Вронського, складений із лінійно незалежних розв'язків рівняння визначається функцією g(x).

Нехай   та   - два лінійно незалежні розв'яки, тобто

 
 

Домножаючи перше рівняння на   а друге на   і віднімаючи отримуємо

 

або

 .

Цю властивість можна використати для знаходження другого лінійно незалежного розв'язку рівняння, якщо один вже відомий. Рівняння для другого розв'язку є рівнянням першого, а не другого порядку.

Також з цього видно, що визначник Вронського або ніколи не нуль, або ідентичний нулю.

ПрикладиРедагувати

  • Переконаємося, що вронскіан лінійно-залежних функцій   дорівнює нулю:
 
  • Перевіримо тепер лінійну незалежність функцій  
 

Є точки, де вронскіан відмінний від нуля (у нашому випадку це будь-яка точка, крім x = 0). Тому на будь-якому проміжку ці функції будуть лінійно незалежними.

  • Наведемо тепер приклад, коли вронскіан всюди дорівнює нулю, але функції все одно лінійно незалежні. Задамо дві функції:
 

Обидві функції всюди диференційовних (у тому числі в нулі, де похідні обох функцій звертаються в нуль). Переконаємося, що вронськіан всюди нуль.

 

Проте ці функції, очевидно, є лінійно незалежними. Бачимо що рівність вронськіана нулю не тягне за собою лінійної залежності у випадку довільного вибору функцій.

ДжерелаРедагувати

Романко В.К. Главы 5 и 6 // Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — С. 158-164, 174-177. — (Технический университет). — 3000 экз. — ISBN 5-93208-097-3

ПосиланняРедагувати