Визначник Вронського

Визна́чник Вронського (Вронськіан) — визначник, складений із функцій та похідних. Використовується в теорії диференціальних рівнянь.

Для n функцій визначник Вронського будується з використанням похідних до n – 1 порядку:

$W[f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x)]={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}.$

Для лінійно залежних функцій визначник Вронського дорівнює нулю.

Для лінійного диференційного рівняння другого порядку

Для однорідного лінійного диференційного рівняння другого порядку у формі

$y''+g(x)y'+h(x)y=0\,$

визначник Вронського, складений із лінійно незалежних розв'язків рівняння визначається функцією g(x).

Нехай $y_{1}(x)$ та $y_{2}(x)$ - два лінійно незалежні розв'яки, тобто

$y_{1}''+g(x)y_{1}'+h(x)y_{1}=0\,$

$y_{2}''+g(x)y_{2}'+h(x)y_{2}=0\,$

Домножаючи перше рівняння на $y_{2}(x)$ а друге на $y_{1}(x)$ і віднімаючи отримуємо

$W'+g(x)W=0\,$

або

$W=Ce^{-\int g(x)dx}\,$.

Цю властивість можна використати для знаходження другого лінійно незалежного розв'язку рівняння, якщо один вже відомий. Рівняння для другого розв'язку є рівнянням першого, а не другого порядку.

Також з цього видно, що визначник Вронського або ніколи не нуль, або ідентичний нулю.

Приклади

• Переконаємося, що вронскіан лінійно-залежних функцій $1,x^{2},3+2x^{2}$ дорівнює нулю:

$W(f_{1},f_{2},f_{3})(x)={\begin{vmatrix}1&x^{2}&3+2x^{2}\\0&2x&4x\\0&2&4\end{vmatrix}}=8x-8x=0,\qquad x\in \mathbb {R} .$

• Перевіримо тепер лінійну незалежність функцій $1,x,x^{3}$

$W(f_{1},f_{2},f_{3})(x)={\begin{vmatrix}1&x&x^{3}\\0&1&3x^{2}\\0&0&6x\end{vmatrix}}=6x,\qquad x\in \mathbb {R} .$

Є точки, де вронскіан відмінний від нуля (у нашому випадку це будь-яка точка, крім x = 0). Тому на будь-якому проміжку ці функції будуть лінійно незалежними.

• Наведемо тепер приклад, коли вронскіан всюди дорівнює нулю, але функції все одно лінійно незалежні. Задамо дві функції:

$f_{1}(x)=x^{2};\qquad f_{2}(x)={\begin{cases}-x^{2},&x<0,\\x^{2},&x\geqslant 0.\end{cases}}$

Обидві функції всюди диференційовних (у тому числі в нулі, де похідні обох функцій звертаються в нуль). Переконаємося, що вронськіан всюди нуль.

$W(f_{1},f_{2})(x)={\begin{cases}{\begin{vmatrix}x^{2}&-x^{2}\\2x&-2x\end{vmatrix}}=0,&\;x<0,\\[15pt]{\begin{vmatrix}x^{2}&x^{2}\\2x&2x\end{vmatrix}}=0,&\;x\geq 0\end{cases}}$

Проте ці функції, очевидно, є лінійно незалежними. Бачимо що рівність вронськіана нулю не тягне за собою лінійної залежності у випадку довільного вибору функцій.

Джерела

Романко В.К. Главы 5 и 6 // Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — С. 158-164, 174-177. — (Технический университет). — 3000 экз. — ISBN 5-93208-097-3

Посилання

• http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=2164 [Архівовано 14 травня 2011 у Wayback Machine.]
• http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/wronskian.aspx [Архівовано 28 березня 2021 у Wayback Machine.]
• http://mathworld.wolfram.com/Wronskian.html [Архівовано 1 квітня 2010 у Wayback Machine.]