Звичайні диференціальні рівняння

Звичайні диференціальні рівняння — диференціальні рівняння вигляду

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0,

де $y=y(x)$ — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної $x$ , штрих означає диференціювання по $x$ . Число $n$ називається порядком диференціального рівняння.

Розв'язування диференціального рівняння називають інтегруванням, а його розв'язок інтегралом диференціального рівняння. Якщо розв'язок диференціального рівняння можна задати у вигляді аналітичного рівняння

G(x,y)=0

,

то говорять, що диференціальне рівняння розв'язується в квадратурах.

Задача розв'язування звичайного диференціального рівняння є знаходження невідомої функції. Загалом ця задача має нескінченно багато розв'язків. Кількість розв'язків обмежується накладанням на невідому функцію додаткових початкових або граничних умов.

Звичайні диференціальні рівняння першого порядку

Звича́йним диференціальним рівня́нням пе́ршого поря́дку називають рівняння вигляду

F(x,y,y')=0,

де $x$ — незалежна змінна, $y$ — невідома функція від змінної $x$ , $y'$ — похідна функції $y(x)$ , а ${\textstyle F}$ — задана функція, яка визначена в деякій області ${\textstyle \Omega }$ простору ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ .

Розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку називають функцію $y=\varphi (x)$ , $x\in \langle a,b\rangle$ , яка задовольняє такі умови:

$\varphi \in C^{1}(\langle a,b\rangle )$ ( ${\textstyle \varphi }$ неперервно диференційована на $\langle a,b\rangle$ );
$(x,\varphi (x),\varphi '(x))\in \Omega ,\quad \forall x\in \langle a,b\rangle$ ;
$F(x,\varphi (x),\varphi '(x))=0,\quad \forall x\in \langle a,b\rangle$ .

Загальним розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку називають функцію $y=\psi (x,C)$ від незалежної змінної $x$ та параметра ${\textstyle C}$ , яка задовольняє умову:

для будь-якого конкретного (допустимого) значення $C_{0}$ параметра $C$ функція $y=\psi (x,C_{0})$ від змінної $x$ , що пробігає допустимі значення з деякого числового проміжку (тобто, $x\in \langle c,d\rangle$ ), є розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Якщо загальний розв'язок звичайного диференціального рівняння першого порядку $y=\psi (x,C)$ має таку властивість:

який би не був розв'язок $y=\varphi (x)$ , $x\in \langle a,b\rangle$ , звичайного диференційного рівняння першого порядку знайдеться значення $C_{\varphi }$ параметра $C$ таке, що $\varphi (t)=\psi (x,C_{\varphi })$ , $x\in \langle a,b\rangle$ ,

то цей загальний розв'язок називають повним загальним розв'язком (у протилежному разі його ще називають неповним загальним розв'язком).

Інтегралом звичайного диференціального рівняння першого порядку називають співвідношення вигляду $\Phi (x,y)=0$ , якщо будь-яка неявно задана ним неперервно диференційовна функція є розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Диференціальне рівняння записане у вигляді у загальному вигляді $F(x,y,y')=0,$ ще називають неявним диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо ж у виразі, що задає рівняння явно виділено похідну $x'$ , тобто рівняння записане як $y'=f(x,y)$ , то таке рівняння називають явним. Диференціальне рівняння першого порядку записане у вигляді

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,

де $M(x,y),N(x,y)$ задані неперервні функції двох змінних, які одночасно не тотожні нулю, називається диференціальним рівнянням записаним у симетричні формі.

Найпоширенішими типами диференціальних рівнянь першого порядку, які інтегруються у квадратурах є наступні:

Рівняння з відокремлюваними змінними

Рівняння у симетричній формі або явне диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо воно може бути представлене у вигляді:

M_{1}(x)N_{1}(y)dx+M_{2}(x)N_{2}(y)dy=0\quad {\text{або}}\quad y'=f(x)g(y)

відповідно. Такі рівняння завжди можна розв'язати у квадратурах.

Однорідні рівняння

Поняття однорідного диференціального рівняння першого порядку пов'язане з однорідними функціями. Рівняння у симетричній формі у випадку, коли функції $M(x,y),N(x,y)$ є однорідними функціями одного порядку, та явне рівняння у випадку, коли $f(x,y)$ є однорідною функцією нульового порядку називаються однорідними диференціальними рівняннями.

Такі рівняння заміною змінних $y(x)=x\cdot u(x)$ зводяться до рівняння з відокремлюваними змінними відносно невідомої функції $u(x)$

Лінійні рівняння першого порядку

Докладніше: Лінійне диференціальне рівняння#Рівняння першого порядку

Диференціальне рівняння першого порядку у випадку коли $F(x,y,y')$ є лінійною функцією за сукупністю змінних $y,y'$ називається лінійним однорідним рівнянням і може бути записане у вигляді

y'+p(x)y=0.

Поряд з лінійним однорідним рівнянням розглядається також лінійне неоднорідне рівняння, яке має вигляд

y'+p(x)y=f(x)

Загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння записується формулою

y(x)=Ce^{-\int p(x)dx}+e^{-\int p(x)dx}\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx,

з якої, поклавши $f(x)=0$ , отримуємо у загальний розв'язок лінійного однорідного рівняння.

Диференціальне рівняння Бернуллі

Явне диференціальне рівняння, записане у вигляді

y'+p(x)y=f(x)y^{n},\quad n\neq 0,1,

називається рівнянням Бернуллі. Заміною змінних $u=y^{1-n}$ рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння відносно $u=u(x)$ .

Пониження порядку диференціальних рівнянь

Часто диференціальне рівняння високого порядку може бути розв'язане шляхом пониження порядку рівняння, зокрема і до рівняння першого порядку.

Зведення рівняння вищого порядку до системи рівнянь першого порядку

Вводячи змінні $y_{1}=y'$ , $y_{2}=y''$ , $y^{(n-1)}=y_{n-1}$ , звичайне диференціальне рівняння можна записати у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку