Метод Рунге — Кутти

Методи Рунге — Кутти — важлива група чисельних методів розв’язування (систем) звичайних диференціальних рівнянь. Названі на честь німецьких математиків Карла Рунге і Мартіна Кутти, які відкрили ці методи.

Класичний метод Рунге — Кутти 4-го порядку

Метод Рунге — Кутти 4-го порядку настільки широко розповсюджений, що його часто називають просто методом Рунге — Кутти або RK4.

Розглянемо задачу Коші для системи диференціальних рівнянь довільного порядку, що записується у векторній формі як

${\textbf {y}}'={\textbf {f}}(x,{\textbf {y}}),~~~~~{\textbf {y}}(x_{0})={\textbf {y}}_{0}$.

Тоді значення невідомої функції в точці $\ x_{n+1}$ обчислюється відносно значення в попередній точці $\ x_{n}$ за формулою:

${\textbf {y}}_{n+1}={\textbf {y}}_{n}+{h \over 6}({\textbf {k}}_{1}+2{\textbf {k}}_{2}+2{\textbf {k}}_{3}+{\textbf {k}}_{4})$,

$\ x_{n+1}=x_{n}+h$

де $\ h$ — крок інтегрування, а коефіцієнти ${\textbf {k}}_{n}$ розраховуються таким чином:

${\textbf {k}}_{1}={\textbf {f}}\left(x_{n},{\textbf {y}}_{n}\right),$

${\textbf {k}}_{2}={\textbf {f}}\left(x_{n}+{h \over 2},{\textbf {y}}_{n}+{h \over 2}{\textbf {k}}_{1}\right),$

${\textbf {k}}_{3}={\textbf {f}}\left(x_{n}+{h \over 2},{\textbf {y}}_{n}+{h \over 2}{\textbf {k}}_{2}\right),$

${\textbf {k}}_{4}={\textbf {f}}\left(x_{n}+h,{\textbf {y}}_{n}+h{\textbf {k}}_{3}\right).$

Це метод 4-го порядку, тобто похибка на кожному кроці становить $\ O(h^{5})$, а сумарна похибка на кінцевому інтервалі інтегрування є величиною $\ O(h^{4})$.

Прямі методи Рунге — Кутти

Група прямих методів Рунге — Кутти є узагальненням методу Рунге — Кутти 4-го порядку. Наближення задається формулами

${\textbf {y}}_{n+1}={\textbf {y}}_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}{\textbf {k}}_{i},$

де

${\textbf {k}}_{1}={\textbf {f}}(x_{n},{\textbf {y}}_{n}),\,$

${\textbf {k}}_{2}={\textbf {f}}(x_{n}+c_{2}h,{\textbf {y}}_{n}+a_{21}h{\textbf {k}}_{1}),\,$

${\textbf {k}}_{3}={\textbf {f}}(x_{n}+c_{3}h,{\textbf {y}}_{n}+a_{31}h{\textbf {k}}_{1}+a_{32}h{\textbf {k}}_{2}),\,$

$\vdots$

${\textbf {k}}_{s}={\textbf {f}}(x_{n}+c_{s}h,{\textbf {y}}_{n}+a_{s1}h{\textbf {k}}_{1}+a_{s2}h{\textbf {k}}_{2}+\cdots +a_{s,s-1}h{\textbf {k}}_{s-1}).$

Конкретний метод визначається числом $\ s$ і коефіцієнтами $\ b_{i},a_{ij}$ і $\ c_{i}$. Ці коефіцієнти часто впорядковують в таблицю

	0
	$c_{2}$	$a_{21}$
	$c_{3}$	$a_{31}$	$a_{32}$
	$\vdots$	$\vdots$		$\ddots$
	$c_{s}$	$a_{s1}$	$a_{s2}$	$\cdots$	$a_{s,s-1}$
		$b_{1}$	$b_{2}$	$\cdots$	$b_{s-1}$	$b_{s}$

Для коефіцієнтів методу Рунге — Кутти мають справджуватись умови $\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}$ для $i={\overline {2,s}}$.

Якщо ми хочемо, щоб метод мав порядок $\ p$, то варто так само забезпечити умову ${\bar {\textbf {y}}}(h+x_{0})-{\textbf {y}}(h+x_{0})=O(h^{p+1}),$ де ${\bar {\textbf {y}}}(h+x_{0})$ — наближення, отримане за методом Рунге — Кутти. Після багаторазового диференціювання ця умова перетвориться в систему поліноміальних рівнянь, розв'язки якої є коефіцієнтами методу.

Прямі методи розв'язку жорстких диференціальних рівнянь та їх систем неефективні внаслідок різкого збільшення кількості кроків обчислень (при зменшенні кроку інтегрування $h$) чи зростання похибки при недостатньо малому кроці $h$.

Нехай похибка має порядок $k$. Наближене значення $y(x),$ обчислене у точці $x$ із величиною кроку $h$, позначається $Y(x,h).$ Тоді у точці $x=x_{0}+2nh$

$y(x)-Y(x,h)\approx A2nh^{k+1}-A(x-x_{0})h^{k},\quad \quad y(x)-Y(x,2h)\approx An(2h)^{k+1}=A(x-x_{0})2^{k}h^{k},$

тобто $Y(x,2h)-Y(x,h)\approx A(x-x_{0})(1-2^{k})h$ та, відповідно,

$y(x)-Y(x,h)\approx {\frac {Y(x,h)-Y(x,2h)}{2^{k}-1}}.$

Помилка при кроці $h$ виражається через наближені значення при кроках $h$ та $2h.$

Багатокрокові методи використовують для обчислення наступного значення $y_{j+1}$ лише інформацію з напівінтервалу $[y_{j},y_{j+1})$. Багатокрокові методи базуються на заміні диференціального рівняння

$y(x)-f(x,y(x))=0,\quad \quad y(a)=s$

за сталого кроку $h$ різницевим рівнянням порядку $k$

$\sum _{j=0}^{k}a_{j}^{(k)}y-h\sum _{j=0}^{k}b_{j}^{(k)}f(x_{k+j},y_{k+j})=0,\quad \quad a_{k}^{(k)}\neq 0,\quad \quad (a_{0}^{(k)})^{2}+(b_{0}^{(k)})^{2}\neq 0,\quad \quad n=0,1,...,$

$y_{0}=s,y_{1},...,y_{k-1}$ - задані значення.

Кожний спосіб такого типу визначається поліномами

$p_{k}(z)=a_{k}^{(k)}z^{k}+a_{k-1}^{(k)}z^{k-1}+...+z_{0}^{(k)},\quad \quad \sigma _{k}(z)=b_{k}^{(k)}z^{k}+b_{k-1}^{(k)}z^{k-1}+...b_{0}^{(k)}.$

Якщо степінь $\sigma _{k}$ менше степені $p_{k},$ то говорять про явний (або відчинений) метод, якщо степені рівні, то про неявний (зачинений).

Приклад розв'язання в середовищі MATLAB

Розв'язання систем диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутти є одним з найбільш поширених числових методів розв'язання в техніці. В середовищі MATLAB/Octave (досить поширена і зручна мова програмування для технічних обчислень) реалізований один з його різновидів — метод Дорманда-Принса.

Див. також

• Метод Ейлера
• Метод Адамса
• Метод Хенрічі
• Метод Мілна

Література

• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (Розділи 16.1 і 16.2.).