Відкрити головне меню
Ілюстрація методу Ейлера. Шукана крива синя, а її полігональне наближення червоне.

В чисельних методах методом Ейлера називають спосіб розв'язувати звичайні диференціальні рівняння з заданим початковим значенням. Це найбільш базовий вид чисельних методів інтегрування звичайних диференціальних рівнянь.

Неформальний геометричний описРедагувати

Розгляньмо задачу малювання графіка невідомої кривої, яка починається в даній точці, і задовольняє дане диференціальне рівняння. Тут дифрівняння може розглядатись як формула для тангенса кута нахилу дотичної до кривої, і може бути обчислена в кожній точці цієї кривої, як тільки відомі її координати.

Ідея методу полягає в тому, що хоча крива спочатку невідома, її початкова точка, яку ми позначимо   відома (як на ілюстрації вгорі справа). Тоді, в цій точці можна обчислити нахил дотичної.

Тепер робимо маленький крок вздовж дотичної, до точки  . Якщо ми припустимо що   все ще на кривій (приблизно), тоді до неї можна застосувати ті ж міркування. Таким чином ми отримаємо послідовність точок, що утворюють ламану яка приблизно повторює криву.

Відхилення між отриманою ламаною, можна зробити не надто великим, якщо робити короткі кроки вздовж дотичних, і будувати криву на скінченному, короткому інтервалі. Хоча для деяких рівнянь можуть виникати додаткові ускладнення.

ЗастосуванняРедагувати

 
Ілюстрація чисельного інтегрування рівняння  . Синій - метод Ейлера, зелений - метод середньої точки, червоний - точний розв'язок,  . Розмір кроку -  .
 
Та ж ілюстрація для кроку  . Видно що метод середньої точки збігається швидше ніж метод Ейлера.

Ми хочемо наблизити розв'язок наступної задачі початкових значень:

 

використовуючи перші два доданки ряду Тейлора для y, які представляють лінійне наближення біля точки  . Один крок методу Ейлера з   до   проводиться так:

 

Метод Ейлера є явним, тобто розв'язок   є явною функцією   для  .

Хоча метод Ейлера працює для ЗДР першого порядку, будь-яке ЗДР порядку   може бути представленим як ЗДР першого порядку додаванням   додаткових змінних,  , і створенням   рівнянь першого порядку з цими змінними. Метод Ейлера можна застосовувати до вектора   для інтегрування системи рівнянь вищих порядків.

ПохибкаРедагувати

Якщо припустити, що   і відповідно   відомі точно в момент  , тоді метод Ейлера дає приблизний розв'язок в момент   як:

 

(друга рівність зберігається тому що y задовольняє дифрівняння  ). Розклад Тейлора для   біля   дає:

 

Похибка методу Ейлера задається різницею між цими двома рівняннями:

 

Для маленьких  , домінуючий доданок похибки пропорційний  . Щоб розв'язати задачу на заданому проміжку  , необхідна кількість кроків, яка пропорційна до   тому можна очікувати, що загальна похибка на кінці інтервалу буде пропорційна   (похибка за один крок, помножена на кількість кроків). З цієї причини, метод Ейлера називають методом першого порядку, і він є менш точним (для малих  ) ніж методи вищих порядків, таких як метод Рунге-Кутти, чи метод Адамса.

СтійкістьРедагувати

Метод Ейлера може бути чисельно нестійким, особливо для жорстких рівнянь. Це обмеження, поряд з тим фактом, що він повільно збігається при зменшенні   означає, що метод використовується нечасто, і хіба що як простий приклад чисельного інтегрування. Нестійкості можна уникнути, використовуючи алгоритм Ейлера-Кромера.

Дивіться такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

  • Ascher, Uri M.; Petzold, Linda Ruth. Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations. 1998. SIAM. ISBN 0898714125