Диференціальне рівняння Бернуллі

Диференціальне рівняння Бернуллі — диференціальне рівняння вигляду:

y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,

, n≠1, 0.

назване на честь Якоба Бернуллі.

Метод розв'язку

1. Поділимо ліву і праву частини на $y^{n}$

{\frac {y'}{y^{n}}}+{\frac {P(x)}{y^{n-1}}}=Q(x).

2. Зробимо заміну

w={\frac {1}{y^{n-1}}}

w'={\frac {(1-n)}{y^{n}}}y'

{\frac {w'}{1-n}}+P(x)w=Q(x)

Його можна розв'язати за допомогою інтегрувального множника

M(x)=e^{(1-n)\int P(x)dx}.

y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}

Поділимо на $y^{2}$

y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}

Заміна змінних

w={\frac {1}{y}}

w'={\frac {-y'}{y^{2}}}.

w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}

M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{2}.

Помножимо на $M(x)$ ,

w'x^{2}+2xw=x^{4},\,

\int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx

wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C

{\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C

Результат

y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}