Інтегрувальний множник

Інтегрувальний множник (англ. integrating factor) — функція, за допомогою якої спрощують розв'язування певного рівняння із диференціалами. Інтегрувальний множник часто використовують для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь, але також використовується в аналізі функцій багатьох змінних, де множення на такий множник дозволяє неточний диференціал перевести в точний (який вже можна інтегрувати для отримання скалярного поля). Це особливо корисно в термодинаміці, де температура стає інтегрувальним множником, який робить ентропію точним диференціалом.

Використання для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь

Інтегрувальні множники стають у пригоді під час ров'язання звичайних диференціальних рівнянь, які можна записати в формі

$y'+P(x)y=Q(x)$

Ідея полягає у віднайдені деякої функції $M(x)$, яка зветься "інтегрувальний множник," на яку ми можемо помножити наше диференціальне рівняння з тим, щоб отримати ліворуч похідну. Для лінійного диференціального рівняння в канонічній формі як наведено вище, інтегрувальний множник буде

$M(x)=e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}$

І множення на $M(x)$ дає

$y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}$

Використовуючи правило добутку в зворотньому напрямку, ми бачимо, що лівий бік рівняння можна виразити як одну похідну по $x$

$y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}={\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})$

Ми використовуємо цей факт, щоб спростити вираз до

${\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}$

Тоді ми інтегруємо обидва боки по $x$, спочатку через перейменування $x$ у $t$, отримуємо

$ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+C$

Насамкінець, ми можемо перенести показникову функцію праворуч для отримання загального розв'язку:

$y=e^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+Ce^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}$

У випадку однорідного диференціального рівняння, коли $Q(x)=0$, ми отримуємо

$y={\frac {C}{e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}}$

де $C$ є сталою.

Приклад

Розв'яжемо диференціальне рівняння

$y'-{\frac {2y}{x}}=0.$

Можна побачити, що в цьому випадку $P(x)={\frac {-2}{x}}$

$M(x)=e^{\int P(x)\,dx}$

$M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}$ (Зауважте, що ми не мусимо включати сталу інтегрування - нам потрібен лише розв'язок, а не загальний розв'язок)

$M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.$

Множимо на $M(x)$ і отримуємо

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0$

${\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0$

${\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0$

${\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.$

Згадуємо як брати похідну від дробу і робимо це у зворотньому напрямку

$\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0$

або

${\frac {y}{x^{2}}}=C\,$

що нам дає

$y\left(x\right)=Cx^{2}.$

Посилання

Weisstein, Eric W. Інтегрувальний множник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.