Відкрити головне меню

Інтегрувальний множник (англ. integrating factor) — функція, за допомогою якої спрощують розв'язування певного рівняння із диференціалами. Інтегрувальний множник часто використовують для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь, але також використовується в аналізі функцій багатьох змінних, де множення на такий множник дозволяє неточний диференціал перевести в точний (який вже можна інтегрувати для отримання скалярного поля). Це особливо корисно в термодинаміці, де температура стає інтегрувальним множником, який робить ентропію точним диференціалом.

Використання для розв'язання звичайних диференціальних рівняньРедагувати

Інтегрувальні множники стають у пригоді під час ров'язання звичайних диференціальних рівнянь, які можна записати в формі

 

Ідея полягає у віднайдені деякої функції  , яка зветься "інтегрувальний множник," на яку ми можемо помножити наше диференціальне рівняння з тим, щоб отримати ліворуч похідну. Для лінійного диференціального рівняння в канонічній формі як наведено вище, інтегрувальний множник буде

 

І множення на   дає

 

Використовуючи правило добутку в зворотньому напрямку, ми бачимо, що лівий бік рівняння можна виразити як одну похідну по  

 

Ми використовуємо цей факт, щоб спростити вираз до

 

Тоді ми інтегруємо обидва боки по  , спочатку через перейменування   у  , отримуємо

 

Насамкінець, ми можемо перенести показникову функцію праворуч для отримання загального розв'язку:

 

У випадку однорідного диференціального рівняння, коли  , ми отримуємо

 

де   є сталою.

ПрикладРедагувати

Розв'яжемо диференціальне рівняння

 

Можна побачити, що в цьому випадку  

 
  (Зауважте, що ми не мусимо включати сталу інтегрування - нам потрібен лише розв'язок, а не загальний розв'язок)
 

Множимо на   і отримуємо

 
 
 
 

Згадуємо як брати похідну від дробу і робимо це у зворотньому напрямку

 

або

 

що нам дає

 

ПосиланняРедагувати

Weisstein, Eric W. Інтегрувальний множник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.