Відкрити головне меню

Граничні умови (ГУ)- умови, що характеризують шукану функцію на зовнішніх i внутрішніх границях потоку. Кількість ГУ має дорівнювати порядку диференціального рівняння за просторовими координатами. ГУ задаються у вигляді шуканої функції (ГУ першого типу), її похідної (відповідно – другого типу) або в мішаному вигляді, включаючи функцію та її похідну (відповідно – третього типу).

У теорії диференціальних рівнянь, початкові і граничні умови — доповнення до основного диференціального рівняння (звичайного або з частинними похідними), що задає його поведінку в початковий момент часу або на границі розглянутої області відповідно.

Зазвичай диференціальне рівняння має не один розв'язок, а множину. Початкові і граничні умови дозволяють вибрати з нього один розв'язок, що відповідає реальному фізичному процесу чи явищу. У теорії звичайних диференціальних рівнянь доведено теорема існування та єдиності розв'язку задачі з початковими умовами (так звана задача Коші). Для рівнянь у часткових похідних отримані деякі теореми існування і єдиності рішень для певних класів початкових і крайових задач.

ТермінологіяРедагувати

Іноді до граничних відносять і початкові умови в нестаціонарних задачах, таких як розв'язок гіперболічних або параболічних рівнянь.

Для стаціонарних задач існує поділ граничних умов на головні і природні.

Головні умови зазвичай мають вигляд  , де   — границя області  .

Природні умови містять також і похідну рішення по нормалі до кордону.

ПрикладРедагувати

Рівняння

 

описує рух тіла в полі земного тяжіння. Йому задовольняє будь-яка квадратична функція виду

 ,

де   — довільні числа. Для виведення конкретного закону руху необхідно вказати початкові координати тіла і його швидкість, тобто початкові умови.

Коректність постановки граничних умовРедагувати

Задачі математичної фізики описують реальні фізичні процеси, а тому їх постановка повинна задовольняти наступним природним вимогам:

  1. Розв'язок повинен існувати у будь-якому класі функцій;
  2. Розв'язок має бути єдиним у будь-якому класі функцій;
  3. Розв'язок повинен неперервно залежати від даних (початкових і граничних умов, вільного члена, коефіцієнтів тощо).

Вимога неперервної залежності розв'язку зумовлюється тією обставиною, що фізичні дані, як правило, визначаються з експерименту наближено, і тому треба бути впевненим у тому, що розв'язок задачі у рамках обраної математичної моделі не буде істотно залежати від похибки вимірювань. Математично цю вимогу можна записати, наприклад, наступним чином (для незалежності від вільного члена):

Нехай задані два диференціальні рівняння:   з однаковими диференціальними операторами і однаковими граничними умовами, тоді їх розв'язки будуть неперевно залежати від вільного члена, якщо:

  розв'язки відповідних рівнянь.

Множина функцій, для яких виконуються перелічені вимоги, називається класом коректності. Некоректну постановку граничних умов добре ілюструє приклад Адамара.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X
  • А. М. Ахтямов Теория идентификации краевых условий и ее приложения. — М. : Физматлит, 2009.
  • А. М. Ахтямов, В. А. Садовничий, Султанаев Я. Т. Обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. — М.: Изд-во Московского университета, 2009.