Приклад Адамара

Приклад Адамара ілюструє можливість некоректної постановки класичної задачі Коші.

Розглянемо наступну задачу Коші для рівняння Лапласа:

$u_{tt}(x,t)=-u_{xx}(x,t),~t>0$;

$u\mid _{t=0}=0,~~u_{t}\mid _{t=0}={\frac {1}{k}}\sin {kx}$.

Тоді нескладно показати, що розв'язком такого рівняння буде функція:

$u_{k}(x,t)={\frac {\operatorname {sh} \,kt}{k^{2}}}\sin {kx}$.

При $k\rightarrow +\infty$ видно, що ${\frac {1}{k}}\sin {kx}\rightrightarrows 0$ по $x$; звідси, розв'язок також повинен прямувати до нуля. Однак, у загальному випадку, коли $x\neq \pi n,n=0,\pm 1,\dots ,u_{k}(x,t)\not \to 0,~k\rightarrow \infty$. Тому, непервної залежності від початкових умов немає, і відповідно, задача поставлена некоректно.

Див. також

• Початкові і граничні умови

Література

• Соболев С. Л. Уравнения математической физики. — Любое издание.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X

Посилання

• Коректність за Адамаром [Архівовано 17 жовтня 2011 у Wayback Machine.]