Крайова задача

Крайова задача — задача теорії диференціальних рівнянь, в якій межові умови задаються в різних точках. Наприклад, при коливаннях струни із закріпленеми кінцями зміщення на кожному з кінців дорівнює нулю.

Крайові задачі складніше розв'язувати, ніж задачі Коші, особливо чисельно.

Крайові задачі виникають як у теорії звичайних диференціальних рівнянь, так і в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, особливо рівнянь еліптичного типу.

Особливий вид крайової задачі — вимога певної поведінки фукнції (скінченності) при прямуванні аргументу до нескінченності або в околі особливих точок.

Нехай $\Omega$ — область на площині $x,y$ із межею $\Gamma .$

Важливими задачами є:

• $u(x,y)|_{(x,y)\in \Gamma }=\varphi (x,y)$ — перша крайова задача, задача Діріхле

• ${\frac {\partial u(x,y)}{\partial n}}\vert _{(x,y)\in \Gamma }=\varphi (x,y)=\psi (x,y)$ — друга крайова задача, задача Неймана

• $au(x,y)+b{\frac {\partial u(x,y)}{\partial n}}=\chi (x,y)$ для $(x,y)$ на $\Gamma$ — третя крайова задача, задача Робена
  

Методи розв'язування крайових задач

Метод сіток

Розглядається не континуум точок площини $x,y,$ а зліченна множина дискретних точок $\Pi _{ij}=(x_{i},y_{i}).$

Якщо область $\Omega$ розмістити на сітці, то одні точки сітки попадуть усередину, а інші виявляться зовні області. Дискретна $\Omega ^{*}$ область складається з точок сітки, які лежать усередині області $\Omega$, точки сітки, найближчі до межі й які лежать або всередині, або зовні (це залежить від постановки задачі), розраховують як точки дискретної межі $\Gamma ^{*}.$ У цьому випадку дискретна область ${\tilde {\Omega }}^{*}=\Omega ^{*}\bigcup \Gamma$ складається лише з точок сітки.

Друга можливість полягає в тому, що додають точки перетину $\Gamma$ із прямими сітки як нерегулярні граничні точки.

Похідні, які зустрічаються у розглядуваному диференціальному рівнянні, замінюють у кожній точці сітки $\Pi _{ij}=(x_{i},y_{i})$ відповідними різнісними відношеннями. Наприклад,

${\frac {\partial u}{\partial n}}\vert _{ij}={\frac {1}{2h}}(-u_{i-1,j}+u_{i+1,j})+O(h^{2}).$

Такі вирази називають також молекулами й записують у вигляді наочних структурних формул.

П'ятиточкові молекули для оператора Лапласа (квадратна сітка):

Якщо область $\Omega$ така, що для достатньо простої сітки за відповідно вибраного розташування межа $\Gamma$ складається лише з сіткових прямих, то крайові значення задаються у граничних сіткових точках й уводяться відповідні молекули, якщо вони включають такі точки.

Наприклад, рівняння Пуассона у прямокутнику

$\Omega =\{(x,y)|0\leq x\leq 4k,\,\,0\leq y\leq 3h\}.$

Сітка $(x_{i},y_{i})=(ik,jh),$

$\Omega ^{*}=\{(ik,jh)|0\leq i\leq 4,\,\,4\leq j\leq 3\}$ — регулярна межа.

Нехай $\Omega$ є областю на площині $x,y$ із межею $\Gamma .$ Потрібно відшукати функцію $u(x,y),$ яка задовольняє $\Omega$ рівняння Пуассона

$\Delta u=u_{xx}^{\prime \prime }+u_{yy}^{\prime \prime }=g(x,y).$

При застосуванні молекули ліворуч

$U_{i-1,j}+U_{i+1,j}+U_{i,j-1}+U_{i,j+1}-4U_{ij}=h^{2}f_{ij}$

як дискретний аналог рівняння Пуассона (через $U_{ij}$ позначено наближення для $u(x_{i},y_{j})=u_{ij}$).

Якщо записати усі рівняння, для яких «центральний елемент» $u_{ij}$ є внутрішньою точкою (тобто $1\leq i\leq 3,\,\,1\leq j\leq 2$), то

${\underline {U_{01}}}+U_{21}+{\underline {U_{10}}}+U_{12}-4U_{11}=h^{2}f_{11}$

$U_{11}+U_{31}+{\underline {U_{20}}}+U_{22}-4U_{21}=h^{2}f_{21}$

$U_{21}+{\underline {U_{41}}}+{\underline {U_{30}}}+U_{32}-4U_{31}=h^{2}f_{31}$

${\underline {U_{02}}}+U_{22}+U_{10}+{\underline {U_{13}}}-4U_{12}=h^{2}f_{12}$

$U_{12}+U_{32}+U_{20}+{\underline {U_{23}}}-4U_{22}=h^{2}f_{22}$

$U_{22}+{\underline {U_{42}}}+U_{30}+{\underline {U_{33}}}-4U_{32}=h^{2}f_{32}$

Підкреслені значення можна перенести праворуч.

Тоді дискретним аналогом задачі є система лінійних рівнянь:

${\begin{pmatrix}-4&1&0&1&0&0\\1&-4&1&0&1&0\\0&1&-4&0&0&1\\1&0&0&-4&1&0\\0&1&0&1&-4&1\\0&0&1&0&1&-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{11}\\U_{21}\\U_{31}\\U_{12}\\U_{22}\\U_{32}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{11}^{2}-U_{01}-U_{10}\\h^{2}f_{21}-U_{20}\\h^{2}f_{31}-U_{41}-U_{30}\\h^{2}f_{12}-U_{02}-U_{13}\\h^{2}f_{22}-U_{23}\\h^{2}f_{32}-U_{42}-U_{33}\end{pmatrix}}.$

Для розв'язання таких систем застосовують ітераційні методи, хоча можуть застосовуватися методи, які використовують блокову структуру.

Чисельні

• Метод стрільби

Див. також

• Функції Куранта