Вектор-функція

функція, яка набуває значень у векторному просторі

Вектор-функція — функція, значеннями якої є вектори у векторному просторі двох, трьох або більше вимірів. Аргументами функції можуть бути:

  • одна скалярна змінна — тоді значення вектор-функції визначають у деяку криву;
  • скалярних змінних — тоді значення вектор-функції утворюють у , загалом, -вимірну поверхню;
  • векторна змінна — в цьому випадку вектор-функцію зазвичай розглядають як векторне поле на .

Вектор-функція однією скалярною змінноюРедагувати

Для наочності далі обмежимося випадком тривимірного простору, хоча поширення на загальний випадок не становить труднощів. Вектор-функція однієї скалярної змінної   відображає певний інтервал дійсних чисел   у множину просторових векторів (інтервал може також бути нескінченним).

Вибравши координатні орти  , Ми можемо розкласти вектор-функцію на три координатні функції  ,  ,  :

 

Розглянуті як радіус-вектори, значення вектор-функції утворюють у просторі деяку криву, для якої t є параметром.

Кажуть, що вектор-функція   має границю   у точці  , якщо   (тут і далі   позначають модуль вектора  ). Границя вектор-функції має звичайні властивості:

  • Границя суми вектор-функцій дорівнює сумі границь доданків (в припущенні, що вони існують).
  • Границя скалярного добутку вектор-функцій дорівнює скалярному добутку границь множників.
  • Границя векторного добутку вектор-функцій дорівнює векторному добутку границь множників.

Неперервність вектор-функції визначається традиційно.

Похідна вектор-функції за параметромРедагувати

Визначимо похідну вектор-функції   за параметром:

 .

Якщо похідна в точці   існує, вектор-функція називається диференційовною в цій точці. Координатними функціями для похідної будуть  .

Властивості похідної вектор-функції (всюди передбачається, що похідні існують):

  •   — похідна суми є сумою похідних
  •   — тут f (t) — диференційовна скалярна функція.
  •   — диференціювання скалярного добутку.
  •   — диференціювання векторного добутку.
  •   — диференціювання мішаного добутку.

Про застосування вектор-функцій однієї скалярної змінної в геометрії див. Диференціальна геометрія кривих.

Вектор-функція декількох скалярних зміннихРедагувати

Для наочності обмежимося випадком двох змінних у тривимірному просторі. Значення вектор-функції   (їх годограф) утворюють, загалом, двовимірну поверхню, на якій аргументи   можна розглядати як внутрішні координати точок поверхні.

У координатах рівняння   має вид:

 

Аналогічно випадку однієї змінної, ми можемо визначити похідні вектор-функції, яких тепер буде дві:  . Ділянка поверхні буде невиродженою (тобто в нашому випадку — двовимірною), якщо на ньому   не перетворюється тотожно на нуль.

 
Координатна сітка на сфері

Криві на цій поверхні зручно задавати у вигляді:

  ,

де   — параметр кривої. Залежності   передбачаються диференційовними, причому в області, що розглядається, їх похідні не повинні одночасно перетворюватися на нуль. Особливу роль відіграють координатні лінії, що утворюють сітку координат на поверхні:

  — перша координатна лінія.
  — друга координатна лінія.

Якщо на поверхні немає особливих точок (  ніде не перетворюється на нуль), то через кожну точку поверхні проходять рівно дві координатні лінії.

Докладніше про геометричні застосування вектор-функцій декількох скалярних змінних див. Теорія поверхонь.

ЛітератураРедагувати