Відкрити головне меню

Мішаний добуток векторів  — скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів і :

.

Інколи його називають потрійним скалярним добутком векторів, вочевидь через те, що результатом є скаляр (точніше — псевдоскаляр).


Зміст

ВластивостіРедагувати

  • Змішаний добуток кососиметричний по відношенню до всіх своїх аргументів:
 
т. тобто перестановка будь-яких двох співмножників міняє знак добутку. Звідси випливає, що
 
  • Змішаний добуток   в правій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів   та  :
 
  • Змішаний добуток  в лівій декартовій системі координат (в ортонормованому базисі) дорівнює визначнику матриці, складеної з векторів   та  , взятому зі знаком «мінус»:
 
зокрема,
  • Якщо якісь два вектори колінеарні, то з будь-яким третім вектором вони утворюють мішаний добуток, що дорівнює нулю.
  • Якщо три вектори лінійно залежні (т. тобто компланарні, лежать в одній площині), то їх мішаний добуток дорівнює нулю.
  • Геометричний сенс — мішаний добуток   за абсолютним значенням дорівнює об'єму паралелепіпеда (див. малюнок), утвореного векторами   та  ; знак залежить від того, чи є ця трійка векторів права або ліва.
  • Квадрат змішаного добутку векторів дорівнює визначнику Грама, що визначається ними[1]:215.
 
Три вектора, що визначають паралелепіпед.
 

(в останній формулі в ортонормированном базисі всі індекси можна писати нижніми; в цьому випадку ця формула абсолютно прямо повторює формулу з визначником, правда, при цьому автоматично виходить множник (-1) для лівих базисів).

ТлумаченняРедагувати

Мішаний добуток не є принципово новим математичним поняттям, оскільки процедура його обчислення зводиться до послідовного знаходження скалярного та векторного добутків. Попри це, вивчення мішаного добутку як окремого математичного об'єкта є дуже доцільним, оскільки він часто зустрічається при розгляді різноманітних задач і має низку властивостей, що спрощують їх розв'язання.

Потрійний векторний добутокРедагувати

Потрійний векторний добуток — векторним добутком одного вектора із векторним добутком двох інших. Має місце така формула:

 .

ПриміткиРедагувати

  1. Гусятник П.Б., Резніченко С.В. Векторна алгебра в прикладах та завданнях. — М : Вища школа, 1985. — 232 с.