Паралелепі́пед (від грец. παράλλος — паралельний і επιπεδον — площина) — призма, основою для якої є паралелограм.[1][2]

Властивості

ред.
  • Всі 6 граней паралелепіпеда є паралелограмами.[3]
  • Протилежні грані рівні та паралельні.[4]
  • Діагоналі перетинаються в одній точці та діляться в ній навпіл.[4]

Типи паралелепіпедів

ред.
 
Прямокутний паралелепіпед і його виміри a, b, c

Розрізняють декілька типів паралелепіпедів:

  • Прямий паралелепіпед — паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи.[1] У прямих паралелепіпедів чотири грані є прямокутниками, а основи — паралелограмами.[3] Паралелепіпеди, які не є прямими, називаються похилими.
  • Прямокутний паралелепіпед — прямий паралелепіпед, основою в якому є прямокутник.[3] У прямокутного паралелепіпеда всі грані — прямокутники.[4] Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають спільну вершину, називають його вимірами.[1] Всі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.[5] Моделями прямокутного паралелепіпеда може бути кімната, цеглина, сірникова коробка.
  • Куб — прямокутний паралелепіпед з рівними сторонами.[3] Всі шість граней куба — рівні квадрати.

Основні формули

ред.

Прямий паралелепіпед

ред.
  1. Площа бічної поверхні:
    Sб = Ро · h, де Ро — периметр основи, h — висота.
  2. Площа повної поверхні:
    Sп = Sб + 2Sо, де Sо — площа основи.
  3. Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту:
    V = Sо · h.

Прямокутний паралелепіпед

ред.
  1. Площа бічної поверхні:
    Sб = 2c (a + b), де a, b — сторони основи, c — бічне ребро прямокутного паралелепіпеда.
  2. Площа повної поверхні:
    Sп = 2(ab + bc + ac).
  3. Об'єм:
    V = abc, де a, b, c — виміри прямокутного паралелепіпеда.
  4. У прямокутному паралелепіпеді квадрат діагоналі d дорівнює сумі квадратів його вимірів:[5]
    d2 = a2 + b2 + c2.

Куб

ред.
  1. Площа повної поверхні:
    Sп = 6a2, де a — сторона.
  2. Об'єм:
    V = a3.
  3. Діагональ:
    d = a3.

Формули векторної алгебри

ред.
 
Паралелепіпед, який задається трьома векторами a, b і c.
Довжини векторних добутків a×b і b×c дорівнюють площам відповідних паралелограмів

Об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах  ,   і   розраховується як модуль мішаного добутку цих векторів:

 

або

 

Паралелотоп

ред.

Гарольд Коксетер назвав узагальнення паралелепіпеда на вищі розмірності паралелотопом. В сучасній літературі термін "паралелепіпед" часто використовують і у вищих розмірностях .[6]

Конкретніше, паралелотоп в n-вимірному просторі називається n-вимірний паралелотоп, або просто n-паралелотоп (або n-паралелепіпед). Таким чином паралелограм це 2-паралелотоп, а паралепіпед - 3-паралелотоп.

Більш загально, паралелотоп,[7] або паралелотоп Вороного, має паралельні і конгруентні протилежні фасети. Тож 2-паралелотоп - це паралелогон що також може включати деякі гексагони, а 3-паралелотоп це паралелогранник[en].

Діагоналі n-паралелотопа перетинаються в одній точці, і ця точка ділить їх надвоє. Інверсія в цій точці залишає n-паралелотоп незміненим.

Ребра що виходять з однієї вершини k-паралелотопа утворюють k-репер[en]   векторного простору, і паралелотоп можна відтворити з цих векторів їх лінійними комбінаціями з коефіцієнтами в межах від 0 до 1.

n-об'єм n-паралелотопа в просторі   де   можна обчислити за допомогою визначника Грама. Як альтернатива, об'єм - це норма зовнішнього добутку векторів:  

Якщо m = n, це дорівнює абсолютному значенню визначника n векторів.

Див. також

ред.

Примітки

ред.
  1. а б в Бевз, 2002, с. 110.
  2. Погорелов, 2009, с. 73—75.
  3. а б в г Киселёв, 1980, с. 211.
  4. а б в Крамор, 2008, с. 188.
  5. а б Бевз, 2002, с. 112.
  6. Morgan, C. L. (1974). Embedding metric spaces in Euclidean space. Journal of Geometry, 5(1), 101–107. https://doi.org/10.1007/bf01954540
  7. Deza, Michel; Grishukhin, Viacheslav (2003). Properties of parallelotopes equivalent to Voronoi's conjecture. arXiv:math/0307170.

Література

ред.
  • Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія. Підручник для 10—11 класів загальноосвітніх навчальних закладів. — Київ : «Вежа», 2002. — ISBN 966-7091-31-7.
  • Погорелов А. В. Геометрия. 10—11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений. — 9-е изд. — Москва : Просвещение, 2009. — 175 с. — ISBN 978-5-09-021850-4.(рос.)
  • Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. — 4-е изд. — Москва : «Мир и Образование», 2008. — 336 с. — ISBN 978-5-94666-476-9.(рос.)
  • Киселёв А. П. Элементарная геометрия. Книга для учителя. — Москва : Просвещение, 1980. — 287 с.(рос.)