Відкрити головне меню
Правильна призма з шестикутною основою

При́зма (дав.-гр. πρίσμα — «відпиляне»; від πρίζω — «пиляю») — стереометрична фігура, многогранник (призматоїд), у якого дві грані — рівні n-кутники, розташовані в паралельних площинах, а решта n граней — паралелограми. Ці паралелограми називаються бічними гранями призми, а інші два n-кутники називаються її основами.

Багатокутник, що лежить в основі, визначає назву призми: трикутник — трикутна призма, чотирикутник — чотирикутна; п'ятикутник — п'ятикутна (пентапризма) і т. д.

Призма є частковим випадком циліндра в загальному сенсі (некругового).

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. Інші призми — похилі.

Призма називається правильною, якщо вона пряма і її основи — правильні багатокутники.

Висота призми — відстань між площинами її основ.

Види призмРедагувати

Призма, основою якої є паралелограм, називається паралелепіпедом.
 
Зрізана трикутна призма
Пряма призма — це призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площини основи, звідки випливає, що всі бічні грані є прямокутниками[1]. Інші призми називаються похилими.
Пряма прямокутна призма називається прямокутним паралелепіпедом. Символ Шлефлі такої призми— { }×{ }×{ }.
Правильна призма — це пряма призма, основою якої є правильний багатокутник. Бічні грані правильної призми — рівні прямокутники.
Правильна призма, бічні грані якої є квадратами (висота якої дорівнює стороні основи), є напівправильним багатогранником. Символ Шлефлі такої призми — t{2,p}.

Прямі призми з правильними основами й однаковими довжинами ребер утворюють одну з двох нескінченних послідовностей напівправильних багатогранників, іншу послідовність утворюють антипризми

Зрізана призма — це призма з непаралельними основами[2].

Елементи призмиРедагувати

Назва Визначення Позначення на кресленні Креслення
Основи Дві грані, є конгруентними багатокутниками, що лежать у паралельних одна одній площинах.  ,  
Бічні грані Усі грані, крім основ. Кожна бічна грань обов'язково є паралелограмом.  ,  ,  ,  ,  
Бічна поверхня Об'єднання бічних граней.
Повна поверхня Об'єднання основ і бічної поверхні.
Бічні ребра Спільні сторони бічних граней.  ,  ,  ,  ,  
Висота Відрізок, що з'єднує площини, у яких лежать основи призми і перпендикулярний до цих площин.  
Діагональ Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, які не належать одній грані.  
Діагональна площина Площина, що проходить через бічне ребро призми і діагональ основи.  
Діагональний переріз Перетин призми і діагональної площини. В перерізі утворюється паралелограм, зокрема його часткові випадки — ромб, прямокутник, квадрат.  
Перпендикулярний (ортогональний) переріз Переріз призми і площини, перпендикулярної до її бічного ребра.

Властивості призмиРедагувати

  • Основи призми є рівними багатокутниками.
  • Бічні грані призми є паралелограмами.
  • Бічні ребра призми паралельні і рівні.
  • Об'єм призми дорівнює добутку її висоти на площу основи:
 
  • Об'єм призми з правильною n-кутною основою дорівнює
  (тут s — довжина сторони багатокутника).
  • Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі її бічної поверхні і подвоєної площі основи.
  • Площа бічної поверхні довільної призми  , де   — периметр перпендикулярного перерізу,   — довжина бічного ребра.
  • Площа бічної поверхні прямої призми  , де   — периметр основи призми,   — висота призми.
  • Площа бічної поверхні прямої призми з правильною n-кутною основою дорівнює
 
  • Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних ребер призми.
  • Кути перпендикулярного перерізу — це лінійні кути двогранних кутів при відповідних бічних ребрах.
  • Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних граней.
  • Двоїстим багатогранником прямої призми є біпіраміда.

Діаграми ШлегеляРедагувати

 



Трикутна
призма
 



4-кутна
призма
 



5-кутна
призма
 



6-кутна
призма
 



7-кутна
призма
 



8-кутна
призма

СиметріяРедагувати

Групою симетрії прямої n-кутної призми з правильною основою є група Dnh порядку 4n, за винятком куба, який має групу симетрії Oh[en] порядку 48, що містить три версії D4h в якості підгруп. Групою обертань[en] є Dn 2n, за винятком випадку куба, для якого групою обертань є група O[en] порядку 24, що має три версії D4 в якості підгруп.

Група симетрії Dnh включає центральну симетрію в тому і тільки в тому випадку, коли n парне.

Об'ємРедагувати

Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту. Таким чином об'єм дорівнює:

 

де S — площа основи, h — висота. Об'єм правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:

 

Площа поверхніРедагувати

Площа бічної поверхні призми дорівнює  , де P — периметр основи, H — висота.

Площа поверхні призми дорівнює  , де S — площа основи, h — висота, P — периметр основи.

Площа поверхні правильної призми в основі якої є правильний n-кутник дорівнює:

 

Призматичні багатогранникиРедагувати

Призматичний багатогранник — це узагальнення призми в просторах розмірності 4 і вище. n-вимірний призматичний багатогранник конструюється з двох (n − 1)-вимірних багатогранників, перенесених у наступну розмірність.

Елементи призматичного n-вимірного багатогранника подвоюються з елементів (n − 1)-вимірного багатогранника, потім створюються нові елементи наступного рівня.

Візьмемо n-вимірний багатогранник з елементами   (i-вимірна грань, i = 0, …, n). Призматичний ( )-вимірний багатогранник буде мати   елементів розмірності i (при  ,  ).

За розмірностями:

  • Беремо багатокутник з n вершинами і n сторонами. Отримаємо призму з 2n вершинами, 3n ребрами і   гранями.
  • Беремо багатогранник з v вершинами, e ребрами і f гранями. Отримуємо (4-вимірну) призму з 2v вершинами,   ребрами,   гранями і   комірками.
  • Беремо 4-вимірний багатогранник з v вершинами, e ребрами, f гранями і c комірками. Отримуємо (5-вимірну) призму з 2v вершинами,   ребрами,   (2-вимірними) гранями,   комірками   гіперкомірками.

Однорідні призматичні багатогранникиРедагувати

Правильний n-багатогранник, представлений символом Шлефлі {p, q, ..., t}, може утворити однорідний призматичний багатогранник розмірності (n + 1), представлений прямим добутком двох символів Шлефлі: {p, q, ..., t}×{}.

За розмірностями:

  • Призма з 0-вимірного багатогранника — це відрізок, що подається порожнім символом Шлефлі {}.
  • Призма з 1-вимірного багатогранника — це прямокутник, отриманий з двох відрізків. Ця призма подається як добуток символів Шлефлі {}×{}. Якщо призма є квадратом, запис можна скоротити: {}×{} = {4}.
    •  Приклад: Квадрат, {}×{}, два паралельні відрізки, з'єднані двома іншими відрізками, сторонами.
  • багатокутна призма — це 3-вимірна призма, отримана з двох багатокутників (один отриманий паралельним перенесенням іншого), які пов'язані прямокутниками. З правильного багатокутника {p} можна отримати однорідну n-кутну призму, подану добутком {p}×{}. Якщо p = 4, призма стає кубом: {4}×{} = {4, 3}.
  • 4-вимірна призма, отримана з двох багатогранників (один отримано паралельним перенесенням іншого), зв'язаних 3-вимірними призматичними комірками. З правильного багатогранника {pq} можна отримати однорідну 4-вимірну призму, подану добутком {pq}×{}. Якщо багатогранник є кубом і сторони призми теж куби, призма перетворюється на тесеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.

Призматичні багатогранники більш високих розмірностей також існують як прямі добутки двох будь-яких багатогранників. Розмірність призматичного багатогранника дорівнює добутку розмірностей елементів добутку. Перший приклад такого добутку існує в 4-вимірному просторі і називається дуопризмами[ru], які отримуються, як добуток двох багатокутників. Правильні дуопризми подаються символом {p}×{q}.

Скручена призма і антипризмаРедагувати

Скручена призма — це неопуклий призматичний багатогранник, отриманий з однорідної q-кутної призми шляхом поділу бічних граней діагоналлю і обертання верхньої основи, зазвичай на кут   радіан (  градусів), в напрямку, за якого сторони стають увігнутими[3][4].

Скручена призма не може бути розбита на тетраедри без уведення нових вершин. Найпростіший приклад з трикутними основами називається багатогранником Шенхардта[ru].

Скручена призма топологічно ідентична антипризмі, але має половину симетрій: Dn, [n,2]+, порядку 2n. Цю призму можна розглядати як опуклу антипризму, у якої видалено тетраедри між парами трикутників.

Трикутна Чотирикутні 12-кутна
 
Багатогранник Шенхардта
 
Скручена квадратна антипризма
 
Квадратна антипризма
 
Скручена дванадцятикутна антипризма

Пов'язані багатогранники і мозаїкиРедагувати

Родина правильних призм
Багатокутник                        
Мозаїка                
Конфігурація 3.4.4 4.4.4 5.4.4[ru] 6.4.4[ru] 7.4.4[en] 8.4.4[ru] 9.4.4[en] 10.4.4[en] 11.4.4[en] 12.4.4[en] 17.4.4 ∞.4.4[ru]
Родина опуклих куполів[ru]
n 2 3 4 5 6
Назва {2} t{2} {3} t{3} {4} t{4} {5} t{5} {6} t{6}
Купол  
Діагональний купол
 
Трискатний купол[ru]
 
Чотирискатний купол[ru]
 
П’ятискатний купол[en]
 
Шестискатний купол
(плоский)
Пов'язані
однорідні
многогранники
Трикутна призма
     
Кубооктаедр
     
Ромбокубооктаедр
     
Ромбоікосододекаедр[en]
     
Ромботришестикутна
мозаїка
[en]     

СиметріїРедагувати

Призми топологічно є частиною послідовності однорідних зрізаних багатогранників з конфігураціями вершин (3.2 n.2n) і [n,3].

Призми топологічно є частиною послідовності скошених багатогранників з вершинними фігурами (3.4.n.4) і мозаїк на гіперболічній площині. Ці вершиннотранзитивні фігури мають (*n32) дзеркальну симетрію[en].

З'єднання багатогранниківРедагувати

Існує 4 однорідні з'єднання трикутних призм:

З’єднання чотирьох трикутних призм[en], з’єднання восьми трикутних призм[en], з’єднання десяти трикутних призм[en], з’єднання двенадцати трикутних призм[en].

СтільникиРедагувати

Існує 9 однорідних стільників, що включають комірки у вигляді трикутних призм:

Пов'язані багатогранникиРедагувати

Трикутна призма є першим багатогранником в ряду напівправильних багатогранників[en]. Кожен наступний однорідний багатогранник[en] містить в якості вершинної фігури[ru] попередній багатогранник. Торольд Госсет[en] ідентифікував цю серію в 1900 як таку, що містить всі фасети правильних багатовимірних багатогранників, всі симплекси і ортоплекси (правильні трикутники і квадрати для випадку трикутних призм). У нотації Коксетера трикутна призма задається символом −121.

Чотиривимірний простірРедагувати

Трикутна призма є коміркою у багатьох чотиривимірних однорідних 4-вимірних багатогранниках[en], включно з:

тетраедральна призма[en]

       
октаедральна призма[en]

       
кубооктаедральна призма[en]

       
ікосаедральна призма[en]

       
ікосододекаедральна призма[en]

       
зрізана додекаедральна призма[en]

       
           
ромбоікосі-
додекаедральна призма
[en]

       
ромбокуб-
октаедральна призма
[en]

       
зрізана кубічна призма[en]

       
плосконоса додекаедральна призма[en]

       
n-кутна антипризматична призма[en]

       
         
скошений 5-комірник[en]

       
скошено-зрізаний 5-комірник[en]

       
обструганий 5-комірник[en]

       
струг-зрізаний 5-комірник[en]

       
скошений тесеракт[en]

       
скошено-зрізаний тесеракт[en]

       
обструганий тесеракт[en]

       
струг-зрізаний тесеракт[en]

       
               
скошений 24-комірник[en]

       
скошено-зрізаний 24-комірник[en]

       
обструганий 24-комірник[en]

       
струг-зрізаний 24-комірник[en]

       
скошений 120-комірник[en]

       
скошено-зрізаний 120-комірник[en]

       
обструганий 120-комірник[en]

       
струг-зрізаний 120-комірник[en]

       
               

ПриміткиРедагувати

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration with proofs. — 1938.
  • Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York : Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file).
  • Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.

ПосиланняРедагувати