Символ Шлефлі
Символ Шлефлі (англ. Schläfli symbol) — топологічна характеристика многогранника. У математиці символ Шлефлі застосовується для опису правильних багатокутників, правильних многогранників, і n-многогранників.
Символ Шлефлі названий на честь математика XIX століття Людвіга Шлефлі, який вніс значний внесок в геометрію і інші області.
Побудова ред.
Символ Шлефлі правильного багатокутника {p}, де p — число сторін багатокутника. Отже, {3} — правильний трикутник, {4} — квадрат. Для правильних зірок число Шлефлі задається як {p/q}, де p — число сторін, а кожна q-та вершина суміжна. Слід зауважити, що p і q будуть взаємно простими числами. Наприклад, {5/2} — пентаграма.
Символ Шлефлі позначається у вигляді {p, q, r, … }. Символ Шлефлі правильного многогранника визначається по індукції наступним чином. Визначимо p як число сторін 2-вимірної грані. Зафіксуємо тепер якусь вершину P многогранника Γ і розглянемо всі вершини Γ, з'єднані з нею ребром. Всі ці вершини лежать в одній гіперплощині H (ортогональної до осі, що з'єднує центр многогранника з вершиною P) і перетин Γ ∩ H многогранника Γ гіперплощиною H являє собою правильний многогранник на 1 меншої розмірності. Оскільки всі вершини Γ рівноправні, то тип цього многогранника не залежить від вибору вершини P. Визначимо тепер q як число сторін 2-вимірної грані многогранника Γ ∩ H. Продовжуючи діяти таким чином доти, поки отримуваний перетин має двовимірну грань, ми отримаємо символ Шлефлі Γ. Таким чином, символ Шлефлі n-вимірного многогранника складається з n-1 цілих чисел ≥ 3.
Можливе інше визначення для 3-вимірних многогранників: многогранник, який має q p-сторонніх граней при вершині представляється як {p, q}. Наприклад, куб має 3 квадрати при вершині і представляється як {4,3}.
Правильний 4-вимірний політоп (4-многогранник) з r правильними {p, q}-багатогранними комірками при ребрі представляється як {p, q,r}. І далі застосовуємо індукцію для більшої кількості вимірів.
Приклади ред.
| Розмірність простору |
Символ Шлефлі | Многогранник |
|---|---|---|
| 3 | {3,3} | Тетраедр |
| 3 | {4,3} | Куб |
| 3 | {3,4} | Октаедр |
| 3 | {3,5} | Ікосаедр |
| 3 | {5,3} | Додекаедр |
| 4 | {3,3,3} | 5-комірник (4-симплекс) |
| 4 | {4,3,3} | 8-комірник (4-куб) |
| 4 | {3,3,4} | 16-комірник |
| 4 | {3,4,3} | 24-комірник |
| 4 | {5,3,3} | 120-комірник |
| 4 | {3,3,5} | 600-комірник |
| ≥ 5 | {3, …, 3} | n-симплекс |
| ≥ 5 | {3, …, 3,4} | Гіпероктаедр |
| ≥ 5 | {4,3, …, 3} | Гіперкуб |
Див. також ред.
Посилання ред.
- Weisstein, Eric W. Символ Шлефлі(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Микола Вавилов Конкретна теорія груп First draught(рос.)