Відкрити головне меню

Додека́едр (від грец. δώδεκα — дванадцять і грец. ἕδρα — грань), дванадцятигранник — правильний многогранник, об'ємна геометрична фігура, складена з дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників. Таким чином, додекаедр має 12 граней (п'ятикутних), 30 ребер і 20 вершин (у кожній сходяться 3 ребра). Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин рівна 324°.

Зміст

ФормулиРедагувати

Площа поверхні A і об'єм V додекаедра зі стороною a можна обчислити за формулами:

 
 

Радіус описаної сфери:

 

, де   - золотий перетин

Радіус вписаної сфери:

 

Двогранний кут між гранями:

 , де   - золотий перетин

Приклади в природіРедагувати

Деякі з правильних та напівправильних тіл зустрічаються у природі у вигляді кристалів, інші – у вигляді вірусів, чи найпростіших мікроорганізмів. Наприклад кристал піриту ( FeS ) – природна модель додекаедра.

Вірус поліомієліту має форму додекаедра.

ВластивостіРедагувати

  • Усі двадцять вершин додекаедра лежать по п'ять у чотирьох паралельних площинах, утворюючи в кожній з них правильний п'ятикутник.
  • Двогранний кут між будь-якими двома суміжними гранями додекаедра дорівнює arccos (-1 / √5) ≈116 °, 565.
  • Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин дорівнює 324 °, тригранний кут дорівнює arccos (-11 / 5√5) ≈2,9617 стерадіан.
  • У додекаедр можна вписати куб так, що сторони куба будуть діагоналями додекаедра.
  • Додекаедр має три зірчасті форми.

Школа ПіфагораРедагувати

У школі Піфагора ця фігура була настільки священною що про неї навіть не говорили. Лише через 200 років після смерті Платона про неї почали говорити, але дуже обережно. Все тому що вважалося, що додекаедр розташований у зовнішній частині краю енергетичного поля і є найвищою формою свідомості.[джерело?]


Декартові координатиРедагувати

Якщо центр додекаедра збігається з початком координат, його вершини можна визначити за координатами: (±1, ±1, ±1): (0, ±1/φ, ±φ): (±1/φ, ±φ, 0): (±φ, 0, ±1/φ) де φ = (1+√5)/2 є золотим перетином. Довжина сторін тоді дорівнює 2/φ = −1+√5. Двогранний кут додекаедра становить 2arctan(φ) або приблизно 116.565 градусів.