Характеристика Ейлера
Ейлерова характеристика або характеристика Ейлера—Пуанкаре — характеристика топологічного простору. Ейлерова характеристика простору зазвичай позначається .
Визначення
ред.- Для скінченного кліткового комплексу (зокрема, для скінченного симпліційного комплексу) ейлерова характеристика може бути визначена як знакозмінна сума
- где означає число клітинок розмірности .
- Ейлерова характеристика довільного топологічного простору може бути визначена через числа Бетті як знакозмінна сума:
- Це визначення має сенс лише якщо всі числа Бетті скінченні й збігаються до нуля для достатньо великих індексів.
- Останнє визначення узагальнює попереднє і узагальнюється на інші гомології з довільними коефіцієнтами.
Властивості
ред.- Ейлерова характеристика є гомотопічним інваріантом, тобто, зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів.
- Зокрема, ейлерова характеристика є топологічним інваріантом.
Ейлерова характеристика поліедрів
ред.- Ейлерова характеристика двовимірних топологічних поліедрів може бути обчислена за формулою: де Г, Р і В — кількість граней, ребер і вершин відповідно. Зокрема, для будь-якого многогранника справедлива формула Ейлера:
- Наприклад, характеристика Ейлера для куба дорівнює 6 — 12 + 8 = 2, а для трикутної піраміди 4 — 6 + 4 = 2.
Теорема Ґауса—Бонне
ред.Для компактного двовимірного орієнтованого риманового многовиду (поверхні без краю) справедлива Формула Ґауса-Бонне, що пов'язує ейлерову характеристику з кривиною Ґауса многовиду:
де — елемент площі поверхні .
- Існує узагальнення формули Ґауса—Бонне для двовимірного многовиду з краєм (межею).
- Існує узагальнення формули Ґауса — Бонне на парновимірні ріманові многовиди, яке відоме як Теорема Ґауса — Бонне — Черна або Узагальнена формула Ґауса—Бонне.
- Існує також дискретний аналог теореми Ґауса — Бонне, який говорить, що характеристика Ейлера дорівнює сумі дефектів поліедра, поділеній на .[1]
- Існують комбінаторні аналоги формули Ґаусса — Бонне.
Орієнтовані й неорієнтовані поверхні
ред.- Ейлерова характеристика для орієнтованої сфери з ручками (тора, подвійного тора, ...) подається формулою: , де g — число ручок, для неорієнтованої поверхні формула виглядає, як .
Величина характеристики Ейлера
ред.Назва | Вид | Ейлерова характеристика |
---|---|---|
Відрізок | 1 | |
Коло | 0 | |
Круг | 1 | |
Сфера | 2 | |
Тор (добуток двох кіл) |
0 | |
Подвійний тор | −2 | |
Потрійний тор | −4 | |
Проективна поверхня | 1 | |
Стрічка Мебіуса | 0 | |
Пляшка Кляйна | 0 | |
Дві сфери (незв'язані) | 2 + 2 = 4 | |
Три сфери | 2 + 2 + 2 = 6 |
Історія
ред.У 1752 році Ейлер [2] опублікував формулу, що пов'язує між собою кількість граней тривимірного багатогранника. В оригінальній роботі формула приводиться у вигляді
де S — кількість вершин, Н — кількість граней, A — кількість ребер.
Раніше ця формула зустрічається в рукописах Рене Декарта, опублікованих Лейбніцем у 1760 році [3].
У 1899 році Анрі Пуанкаре [4] узагальнив цю формулу на випадок N-вимірного многотогранника:
де — кількість i-вимірних граней N-вимірного многогранника.
Примітки
ред.- ↑ ERGUN AKLEMAN, JIANER CHEN. Practical Polygonal Mesh Modeling with Discrete Gaussian-Bonnet Theorem (PDF). Texas A&M University. Процитовано 21 жовтня 2019.
- ↑ Л. Ейлер Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus Соліда hedris planis inclusa Сюнт praedita. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Представлено Санкт-Петербурзькій Академії 6 квітня 1752 року. Opera Omnia 1 (26): 94-108.
- Переклад англійською мовою: Леонард ЕйлерProof of Some Notable Properties with wich Solids Enclosed by Plane Faces are Endowed. (Translated by Christopher Francese and David Richeson)
- ↑ Емелічев В.А., Ковальов М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графи, оптимізація (комбінаторна теорія багатогранників). — М., 1981. — С. 344.
- ↑ H. Poincaré, Sur la généralisation d'un théorème d'Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144—145; Oeuvres, Vol. XI, 6-7.
Література
ред.- Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.
- Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
- Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).